TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differenzengleichungen 3

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen Differenzengleichung

$x_{n+1}=3^{2n}x_{n}+3^{n^{2}}$, $n=0,1,2\dots$

Hilfreiches

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n\left(n+1\right)}{2}}$

$\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$

Lösungsvorschlag

$x_{n}=x_{n}^{(h)}+x_{n}^{(p)}$

${\begin{aligned}x_{n}^{(h)}&=C\prod _{i=0}^{n-1}3^{2i}\\&=C\prod _{i=0}^{n-1}9^{i}\\&=C9^{\sum _{i=0}^{n-1}i}\\&=C9^{\frac {\left(n-1\right)n}{2}}\\&=C3^{2{\frac {\left(n-1\right)n}{2}}}\\&=C3^{\left(n-1\right)n}\\\end{aligned}}$

$x_{n}^{(p)}={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)3^{\left(n-1\right)n}={\frac {3^{n^{2}-n+1}}{2}}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)$