TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 31

Man berechne $\int _{0}^{\infty }x\cdot e^{-x^{2}}\;dx$

Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösungsvorschlag von mnemetz

Siehe Lösung aus SS06

Lösungsvorschlag von Baccus

Substitution:

$u=-s^{2}\Longrightarrow du=-2x\;dx\Longrightarrow dx=-{\frac {du}{2x}}$

Integral ist uneigentlich (2. Art) (Skriptum M1/SS05, S.75):

$\lim _{a\to \infty }\int _{0}^{a}x\cdot e^{u}\cdot -{\frac {1}{2x}}\;du=\lim _{a\to \infty }\int _{0}^{a}-{\frac {x\cdot e^{u}}{2\cdot x}}\;du=$

Resubstitution:

$=\lim _{a\to \infty }\left.\left(-{\frac {e^{-x^{2}}}{2}}\right)\right\vert _{0}^{a}=$

Grenzen einsetzen:

$=\lim _{a\to \infty }\left(-{\frac {e^{-a^{2}}}{2}}+{\frac {e^{0}}{2}}\right)=\lim _{a\to \infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {\frac {1}{e^{a^{x}}}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}-0$

--Baccus 01:56, 28. Mär 2007 (CEST)

Links

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