TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 299

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Man untersuche für beliebige \alpha, \beta \in \mathbb{R} den Grenzwert \lim_{t \rightarrow 0} f(\alpha t, \beta t). Ist die Funktion f(x,y) an (0,0) stetig?

f(x,y) = \frac{2y^2}{|x| + y^2} \qquad \qquad \text{fuer } \, \, (x,y) \neq (0,0) \, \, \text{ und } \, \, f(0,0) = 0

Lösungsvorschlag von Drunken Monkey (SS06)[Bearbeiten]

\lim \limits_{t \to 0} f (\alpha t, \beta t) = \lim \limits_{t \to 0} \frac{2\alpha^2t^2}{|\alpha t|+\beta^2t^2} = \pm \lim \limits_{t \to 0} \frac{2\alpha^2t^2}{\alpha t+\beta^2t^2} = \pm \lim \limits_{t \to 0} \frac{2\alpha^2}{\tfrac{\alpha}{t}+\beta} = \pm \frac {2\alpha^2}{\infty+\beta} = 0

Daher ist f stetig.

Edit von leiwand:

Prinzipiell bin ich Deiner Meinung, aber statt \alpha muss oben \beta vorkommen. Tut der Lösung aber nicht weh.

Edit von lumpi:

Leider falsch da nicht stetig wegen Fall Alpha = 0 Beta != 0, bei dem als Grenzwert 2 rauskommt. Siehe untere Lösung.

Lösung in Übung[Bearbeiten]

Man muss drei Fälle unterscheiden:

  1. \alpha = \beta = 0 \qquad
f (\alpha t, \beta t) = f (0,0) = 0 \;(per Definition) \qquad 
\Rightarrow \lim_{t \to 0} = 0
  2. \alpha = 0, \; \beta \neq 0 \qquad
f (\alpha t, \beta t) = \frac{2(\beta t)^2}{0 + (\beta t)^2} = 2 \qquad \qquad \qquad \qquad
\Rightarrow \lim_{t \to 0} = 2
  3. \alpha \neq 0, \; \beta \; beliebig \qquad
f (\alpha t, \beta t) = \frac{2(\beta t)^2}{|\alpha t| + (\beta t)^2} = 
\frac{2 \beta^2 t}{|a| + \beta^2 t} \qquad
\Rightarrow \lim_{t \to 0} = 0

Anmerkung: letzte Umformung kann nicht stimmen weil (\beta * t) ^2 != \beta^2 * t

--kopa 17:19, 31. Okt 2007 (CET)

Letzte Umformung stimmt, da t zuerst im Nenner herausgehoben wird und anschließend gekürzt!

--*litschiiii* 12:21, 12. Apr 2011

Ergänzung lt. EIGENTHALER:

1.) ist lt. Eigenthaler eh nicht erlaubt, da x,y != 0 sein müssen (lt. angabe)

außerdem ist es wegen Grenzwert = 2 != f(x,y)=0 natürlich NICHT stetig. (Stetig heißt Grenzwert und Funktionswert an der Stelle gleich)

Links[Bearbeiten]