TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 78

Man bestimme die partiellen Ableitungen:

$f(x,y,z)={\frac {{\sqrt {x}}+y^{3}z^{2}}{1+\cos ^{2}(1+x)}}$

Lösungsvorschlag von Jacko

$f(x,y,z)={\frac {x^{1/2}+y^{3}z^{2}}{1+\cos ^{2}(1+x)}}$

fx

Für $f_{x}$ wird Quotientenregel benötigt: $f_{x}={\frac {{\frac {1}{2}}*x^{-1/2}*(1+\cos ^{2}(1+x))-(x^{1/2}+y^{3}z^{2})*2*cos(1+x)*(-sin(1+x))*1}{(1+\cos ^{2}(1+x))^{2}}}$ $={\frac {{\frac {1}{2*{\sqrt {x}}}}*(1+\cos ^{2}(1+x))+({\sqrt {x}}+y^{3}z^{2})*2*cos(1+x)*sin(1+x)}{(1+\cos ^{2}(1+x))^{2}}}$

fy

Zum besseren Verständnis anders anschreiben:

$f(x,y,z)=(x^{1/2}+y^{3}z^{2})*{\frac {1}{1+\cos ^{2}(1+x)}}$

Da wenn nach y abgeleitet wird, x und z als Konstanten angesehen werden kann in diesem Fall einfach die Faktorregel angewandt werden:

$f_{y}=(3*y^{2}*z^{2})*{\frac {1}{1+\cos ^{2}(1+x)}}={\frac {3*y^{2}*z^{2}}{1+\cos ^{2}(1+x)}}$

fz

Selbe Vorgehensweise wie bei fy!

$f_{z}=(2*z*y^{3})*{\frac {1}{1+\cos ^{2}(1+x)}}={\frac {2*z*y^{3}}{1+\cos ^{2}(1+x)}}$

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