TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 78

Man bestimme die partiellen Ableitungen:

$f(x,y,z)=\frac{\sqrt{x}+y^3{z}^2}{1+{\cos }^2(1+x)}$

Lösungsvorschlag von Jacko

$f(x,y,z)=\frac{x^{1/2}+y^3{z}^2}{1+{\cos }^2(1+x)}$

fx

Für $f_x$ wird Quotientenregel benötigt: $f_x=\frac{\frac{1}{2}\ast x^{-1/2}\ast (1+{\cos }^2(1+x))-(x^{1/2}+y^3{z}^2)\ast 2\ast cos(1+x)\ast (-sin(1+x))\ast 1}{(1+{\cos }^2(1+x){)}^2}$ $=\frac{\frac{1}{2\ast \sqrt{x}}\ast (1+{\cos }^2(1+x))+(\sqrt{x}+y^3{z}^2)\ast 2\ast cos(1+x)\ast sin(1+x)}{(1+{\cos }^2(1+x){)}^2}$

fy

Zum besseren Verständnis anders anschreiben:

$f(x,y,z)=(x^{1/2}+y^3{z}^2)\ast \frac{1}{1+{\cos }^2(1+x)}$

Da wenn nach y abgeleitet wird, x und z als Konstanten angesehen werden kann in diesem Fall einfach die Faktorregel angewandt werden:

$f_y=(3\ast y^2\ast z^2)\ast \frac{1}{1+{\cos }^2(1+x)}=\frac{3\ast y^2\ast z^2}{1+{\cos }^2(1+x)}$

fz

Selbe Vorgehensweise wie bei fy!

$f_z=(2\ast z\ast y^3)\ast \frac{1}{1+{\cos }^2(1+x)}=\frac{2\ast z\ast y^3}{1+{\cos }^2(1+x)}$

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