TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 91

Es sei $F (x, y) = \frac{2 x + y}{y - 2 x}, x = 2 u - 3 v, y = u + 2 v$ . Man berechne $\frac{\partial F}{\partial u}$ und $\frac{\partial F}{\partial v}$ für $u = 2, v = 1$ .

Lösungsvorschlag

einsetzen von $x = 2 \cdot u - 3 \cdot v$ und $y = u + 2 \cdot v$ in $F (x)$ :

$F (x) = \frac{2 \cdot (2 u - 3 v) + (u + 2 v)}{(u + 2 v) - 2 \cdot (2 u - 3 v)} = \frac{4 u - 6 v + u + 2 v}{u + 2 v - 4 u + 6 v} = \frac{5 u - 4 v}{8 v - 3 u}$

Bilden der partiellen Ableitungen (Quotientenregel):

$\frac{\partial F}{\partial u} = \frac{5 \cdot (8 v - 3 u) - (- 3) \cdot (5 u - 4 v)}{(8 v - 3 u)^{2}} = \frac{- 15 u + 40 v - (- 15 u + 12 v)}{(8 v - 3 u)^{2}} = \frac{28 v}{(8 v - 3 u)^{2}}$

$\frac{\partial F}{\partial v} = \frac{(- 4) \cdot (8 v - 3 u) - 8 \cdot (5 u - 4 v)}{(8 v - 3 u)^{2}} = \frac{- 32 v + 12 u - (40 u - 32 v)}{(8 v - 3 u)^{2}} = \frac{- 28 u}{(8 v - 3 u)^{2}}$

einsetzen von $u = 2$ und $v = 1$ :

$\frac{\partial F}{\partial u} = \frac{28 \cdot 1}{(8 \cdot 1 - 3 \cdot 2)^{2}} = \frac{28}{4} = 7$

$\frac{\partial F}{\partial v} = \frac{- 28 \cdot 2}{4} = - 14$

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