TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel E1

Berechnen Sie die Fläche einer Ellipse, deren Haupt- bzw. Nebenachse die Länge a bzw. b hat.

Lösungsvorschlag von Blueroot

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ist die Ellipsenformel.
Umformen ergibt
$y=b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}$ Dies ist die Funktion, nach der wir Integrieren.

Wir berechnen die obere Hälfte, danach verdoppeln wir, da beide Hälften die gleiche Fläche haben.

$b\int _{-a}^{a}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx$

Substitution $t={\frac {x}{a}}$
$x=ta$

$dx=a\;dt$

$b\int _{-a}^{a}{\sqrt {1-t}}*adt=ab\int _{-a}^{a}{\sqrt {1-t^{2}}}dt$

Substitution $s=\sin ^{-1}{(t)}$

$t=\sin {(s)}$

$dt=\cos {(s)}ds$

$ab\int _{-a}^{a}{\sqrt {1-\sin ^{2}{(s)}}}*\cos {(s)}\;ds$also

Fakt: $\cos {(s)}={\sqrt {1-\sin ^{2}{(s)}}}$

$ab\int _{-a}^{a}\cos ^{2}{(s)}=\cos {(s)}*\sin {(s)}-ab\int _{-a}^{a}-\sin {(s)}*\sin {(s)}$

$ab\int _{-a}^{a}\cos ^{2}{(s)}=\cos {(s)}*\sin {(s)}-ab\int _{-a}^{a}-\sin ^{2}{(s)}$

$ab\int _{-a}^{a}\cos ^{2}{(s)}=\cos {(s)}*\sin {(s)}+ab\int _{-a}^{a}\sin ^{2}{(s)}$

Fakt: $\sin ^{2}{(s)}=1-\cos ^{2}{(s)}$

$ab\int _{-a}^{a}\cos ^{2}{(s)}=\cos {(s)}*\sin {(s)}+ab\int _{-a}^{a}1-\cos ^{2}{(s)}$

$ab\int _{-a}^{a}\cos ^{2}{(s)}=\cos {(s)}*\sin {(s)}+ab\int _{-a}^{a}1-ab\int _{-a}^{a}\cos ^{2}{(s)}$

$2ab\int _{-a}^{a}\cos ^{2}{(s)}=\cos {(s)}*\sin {(s)}+ab\int _{-a}^{a}1$

$ab\int _{-a}^{a}\cos ^{2}{(s)}={\frac {\cos {(s)}*\sin {(s)}+abs}{2}}$ da wir $ab\int _{-a}^{a}\cos ^{2}{(s)}$berechnen wollten und nicht$2ab\int _{-a}^{a}\cos ^{2}{(s)}$

Rücksubstitution $s=\sin ^{-1}{(t)}$

$\cos {(\sin ^{-1}{(t)})}*\sin {(\sin ^{-1}{(t)})}+ab\sin ^{-1}{(t)}$

Fakt: $\cos {(\sin ^{-1}{(t)})}={\sqrt {1-\sin ^{2}{(\sin ^{-1}{(t)})}}}={\sqrt {1-t^{2}}}$

${\frac {{\sqrt {1-t^{2}}}*t+ab\sin ^{-1}{(t)}}{2}}$

Rücksubstitution $t={\frac {x}{a}}$

${\frac {{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}*{\frac {x}{a}}+ab\sin ^{-1}{({\frac {x}{a}})}}{2}}\mid _{-a}^{a}={\frac {ab\pi }{4}}-(-{\frac {ab\pi }{4}})={\frac {ab\pi }{2}}$

Jetzt verdoppeln wir noch$2*{\frac {ab\pi }{2}}=ab\pi$

--Blueroot 16:26, 15. Mai 2007 (CEST)

Lösung von Baccus

Ellipse

Und hier noch die Kurzversion vom Großmeister Karigl:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad \Longrightarrow \iint \limits _{Epipse}1\;dx\;dy$

Substitution in Polarkoordinaten: $\left.{\begin{array}{ll}x=a\cdot r\cos \varphi &0\leq \varphi \leq 2\pi \\y=b\cdot r\sin \varphi &0\leq r\leq 1\end{array}}\right\}B$

mit der Funktionsdeterminante: ${\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}a\cos \varphi &b\sin \varphi \\a\cdot r(-\sin \varphi )&b\cdot r\cos \varphi \end{vmatrix}}=a\cdot b\cdot r$

(siehe auch Bsp.127b)

$\iint \limits _{B}dx\;dy=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{1}1\cdot abr\;dr\;d\varphi =\int \limits _{0}^{2\pi }\underbrace {\left.{\frac {abr^{2}}{2}}\right|_{0}^{1}} _{\tfrac {ab}{2}}d\varphi ={\frac {ab}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi ={\frac {ab}{2}}2\pi =ab\pi$

--Baccus 12:54, 17. Mai 2007 (CEST)

Links

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Wikipädia:

• Ellipse
• Ellipsenfläche