TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel E1

Berechnen Sie die Fläche einer Ellipse, deren Haupt- bzw. Nebenachse die Länge a bzw. b hat.

Lösungsvorschlag von Blueroot

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ist die Ellipsenformel.
Umformen ergibt
$y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$ Dies ist die Funktion, nach der wir Integrieren.

Wir berechnen die obere Hälfte, danach verdoppeln wir, da beide Hälften die gleiche Fläche haben.

$b{\int }_{-a}^a\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx$

Substitution $t=\frac{x}{a}$
$x=ta$

$dx=adt$

$b{\int }_{-a}^a\sqrt{1-t}\ast adt=ab{\int }_{-a}^a\sqrt{1-t^2}dt$

Substitution $s={\sin }^{-1}(t)$

$t=\sin (s)$

$dt=\cos (s)ds$

$ab{\int }_{-a}^a\sqrt{1-{\sin }^2(s)}\ast \cos (s)ds$also

Fakt: $\cos (s)=\sqrt{1-{\sin }^2(s)}$

$ab{\int }_{-a}^a{\cos }^2(s)=\cos (s)\ast \sin (s)-ab{\int }_{-a}^a-\sin (s)\ast \sin (s)$

$ab{\int }_{-a}^a{\cos }^2(s)=\cos (s)\ast \sin (s)-ab{\int }_{-a}^a-{\sin }^2(s)$

$ab{\int }_{-a}^a{\cos }^2(s)=\cos (s)\ast \sin (s)+ab{\int }_{-a}^a{\sin }^2(s)$

Fakt: ${\sin }^2(s)=1-{\cos }^2(s)$

$ab{\int }_{-a}^a{\cos }^2(s)=\cos (s)\ast \sin (s)+ab{\int }_{-a}^{a}1-{\cos }^2(s)$

$ab{\int }_{-a}^a{\cos }^2(s)=\cos (s)\ast \sin (s)+ab{\int }_{-a}^{a}1-ab{\int }_{-a}^a{\cos }^2(s)$

$2ab{\int }_{-a}^a{\cos }^2(s)=\cos (s)\ast \sin (s)+ab{\int }_{-a}^{a}1$

$ab{\int }_{-a}^a{\cos }^2(s)=\frac{\cos (s)\ast \sin (s)+abs}{2}$ da wir $ab{\int }_{-a}^a{\cos }^2(s)$berechnen wollten und nicht$2ab{\int }_{-a}^a{\cos }^2(s)$

Rücksubstitution $s={\sin }^{-1}(t)$

$\cos ({\sin }^{-1}(t))\ast \sin ({\sin }^{-1}(t))+ab{\sin }^{-1}(t)$

Fakt: $\cos ({\sin }^{-1}(t))=\sqrt{1-{\sin }^2({\sin }^{-1}(t))}=\sqrt{1-t^2}$

$\frac{\sqrt{1-t^2}\ast t+ab{\sin }^{-1}(t)}{2}$

Rücksubstitution $t=\frac{x}{a}$

$\frac{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\ast \frac{x}{a}+ab{\sin }^{-1}(\frac{x}{a})}{2}{\mid }_{-a}^a=\frac{ab\pi }{4}-(-\frac{ab\pi }{4})=\frac{ab\pi }{2}$

Jetzt verdoppeln wir noch$2\ast \frac{ab\pi }{2}=ab\pi$

--Blueroot 16:26, 15. Mai 2007 (CEST)

Lösung von Baccus

Ellipse

Und hier noch die Kurzversion vom Großmeister Karigl:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1⟹\underset{Epipse}{\iint }1dxdy$

Substitution in Polarkoordinaten: $\begin{array}{cc}x=a\cdot r\cos \phi & 0\le \phi \le 2\pi \\ y=b\cdot r\sin \phi & 0\le r\le 1\end{array}\}B$

mit der Funktionsdeterminante: $\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\phi )}=\left|\begin{array}{cc}a\cos \phi & b\sin \phi \\ a\cdot r(-\sin \phi )& b\cdot r\cos \phi \end{array}\right|=a\cdot b\cdot r$

(siehe auch Bsp.127b)

$\underset{B}{\iint }dxdy=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}1\cdot abrdrd\phi =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{\frac{ab}{2}}{\underbrace{{\frac{ab{r}^2}{2}|}_0^1}}d\phi =\frac{ab}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi =\frac{ab}{2}2\pi =ab\pi$

--Baccus 12:54, 17. Mai 2007 (CEST)

Links

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