TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel E10

Berechnen Sie die folgende Summe durch Aufstellen und Lösen einer Rekursion:

$\sum _{i=1}^{n}i$

Lösung von - -Mikazuki 12:10, 10. Jun 2007 (CEST)

Berechnen Sie folgende Summe durch Aufstellen und lösen einer Rekursion mithilfe der Ansatzmethode:
$\sum _{i=1}^{n}i$

Aufstellen einer Rekursion:
$x_{n}=x_{n-1}+n$

Homogene Lösung:
$x_{n}^{(h)}=c\cdot \prod _{i=0}^{n-1}1=c$
$x_{0}=0:c=0$

Partikuläre Lösung:

• Ansatz 1: $x_{n}^{(p)}=A+n\cdot B$ A ist in homogener Lösung enthalten ...
• Ansatz 2: $x_{n}^{(p)}=n\cdot A+n^{2}\cdot B$

Einsetzen in die inhomogene Gleichung:
$n\cdot A+n^{2}\cdot B-(n-1)\cdot A-(n-1)^{2}\cdot B=n$
$n\cdot 2*B+(A-B)=n$
Koeffizientenvergleich:

• $n^{1}$: $2\cdot B=1\Rightarrow B={\frac {1}{2}}$
  
• $n^{0}$: $A-B=0\Rightarrow A={\frac {1}{2}}$

$x_{n}^{(p)}={\frac {n}{2}}+{\frac {n^{2}}{2}}={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

Allgemeine Lösung:
$x_{n}=x_{n}^{(h)}+x_{n}^{(p)}=0+{\frac {n\cdot (n+1)}{2}}={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

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