TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel E10

Berechnen Sie die folgende Summe durch Aufstellen und Lösen einer Rekursion:

$\sum _{i=1}^{n}i$

Lösung von - -Mikazuki 12:10, 10. Jun 2007 (CEST)

Berechnen Sie folgende Summe durch Aufstellen und lösen einer Rekursion mithilfe der Ansatzmethode:
$\sum _{i=1}^{n}i$

Aufstellen einer Rekursion:
$x_n=x_{n-1}+n$

Homogene Lösung:
$x_n^{(h)}=c\cdot \prod _{i=0}^{n-1}1=c$
$x_0=0:c=0$

Partikuläre Lösung:

• Ansatz 1: $x_n^{(p)}=A+n\cdot B$ A ist in homogener Lösung enthalten ...
• Ansatz 2: $x_n^{(p)}=n\cdot A+n^2\cdot B$

Einsetzen in die inhomogene Gleichung:
$n\cdot A+n^2\cdot B-(n-1)\cdot A-(n-1{)}^2\cdot B=n$
$n\cdot 2\ast B+(A-B)=n$
Koeffizientenvergleich:

• $n^1$: $2\cdot B=1\Rightarrow B=\frac{1}{2}$
  
• $n^0$: $A-B=0\Rightarrow A=\frac{1}{2}$

$x_n^{(p)}=\frac{n}{2}+\frac{n^2}{2}=\frac{n\cdot (n+1)}{2}$

Allgemeine Lösung:
$x_n=x_n^{(h)}+x_n^{(p)}=0+\frac{n\cdot (n+1)}{2}=\frac{n\cdot (n+1)}{2}$

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