TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 340

Durch $z={\frac {xy}{x+y}}$ ist eine Fläche in $\mathbb {R} ^{3}$ gegeben. Die Beschränkung von $x$ und $y$ auf die Werte $x=e^{t}$ und $y=e^{-t}$ ($t\in \mathbb {R}$) liefert eine Kurve auf dieser Fläche. Man bestimme ${\frac {dz}{dt}}$ mit der Kettenregel und mache die Probe, indem man zuerst $x$ und $y$ in $z$ einsetzt und anschließend nach dem Parameter $t$ differenziert. Wo verläuft diese Kurve auf der Fläche horizontal?

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Hilfreiches

Quotientenregel

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$   (Satz 5.5)

Kettenregel

$F(x)=f(u(x),v(x))\rightarrow F'(x)=f_{u}u'+f_{v}v'$

Lösungsvorschlag

$z(x,y)={\frac {xy}{x+y}}$

$x(t)=e^{t}$ => $x'(t)=e^{t}$

$y(t)=e^{-t}$ => $y'(t)=-e^{-t}$

$z_{x}(x,y)={\frac {y\cdot \left(x+y\right)-xy\cdot 1}{\left(x+y\right)^{2}}}={\frac {xy+y^{2}-xy}{\left(x+y\right)^{2}}}={\frac {y^{2}}{\left(x+y\right)^{2}}}$

$z_{y}(x,y)={\frac {x\cdot \left(x+y\right)-xy\cdot 1}{\left(x+y\right)^{2}}}={\frac {x^{2}+xy-xy}{\left(x+y\right)^{2}}}={\frac {x^{2}}{\left(x+y\right)^{2}}}$

${\frac {dz}{dt}}=z_{x}(x,y)\cdot x'(t)+z_{y}(x,y)\cdot y'(t)={\frac {y^{2}}{\left(x+y\right)^{2}}}\cdot e^{t}+{\frac {x^{2}}{\left(x+y\right)^{2}}}\cdot \left(-e^{-t}\right)={\frac {y^{2}\cdot e^{t}-x^{2}\cdot e^{-t}}{\left(x+y\right)^{2}}}$

Einsetzen von $x=e^{t}$ und $y=e^{-t}$:

${\frac {dz}{dt}}={\frac {\left(e^{-t}\right)^{2}\cdot e^{t}-\left(e^{t}\right)^{2}\cdot e^{-t}}{\left(e^{t}+e^{-t}\right)^{2}}}={\frac {e^{t-2t}-e^{2t-t}}{\left(e^{t}+e^{-t}\right)^{2}}}={\frac {e^{-t}-e^{t}}{\left(e^{t}+e^{-t}\right)^{2}}}$

Probe

$x=e^{t}$ und $y=e^{-t}$ in $z$ einsetzen und dann nach $t$ differenzieren:

$z(t)={\frac {e^{t}\cdot e^{-t}}{e^{t}+e^{-t}}}={\frac {1}{e^{t}+e^{-t}}}$

$z'(t)={\frac {0\cdot \left(e^{t}+e^{-t}\right)-1\cdot \left(e^{t}-e^{-t}\right)}{\left(e^{t}+e^{-t}\right)^{2}}}={\frac {e^{-t}-e^{t}}{\left(e^{t}+e^{-t}\right)^{2}}}$

Wo verläuft die Kurve horizontal

--Jules 16:18, 12. Apr. 2011 (CEST)

Die Kurve verläuft horizontal, wenn ${\frac {dz}{dt}}=0$ gilt.

${\begin{aligned}{\frac {e^{-t}-e^{t}}{\left(e^{t}+e^{-t}\right)^{2}}}&=0\\e^{-t}-e^{t}&=0\\e^{-t}&=e^{t}\\{\frac {1}{e^{t}}}&=e^{t}\\1&=e^{2t}\\t&=0\end{aligned}}$

Daraus ergeben sich folgende Koordinaten:

$x(0)=e^{0}=1$

$y(0)=e^{-0}=1$

$z(0)={\frac {e^{-0}\cdot e^{0}}{e^{0}+e^{-0}}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}$

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 28

Links

• Lösung aus dem WS04 (PDF)