TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 377

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x,y)$ im angegebenen Bereich:

$f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}+x+y+1$ für $x,y\in \mathbb {R}$

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}}

Graphische Auswertung

Lösungsvorschlag von Kujaku

Partielle Ableitungen

$f_{x}=2x+y+1$

$f_{y}=2y+x+1$

Mögliche Extrema/Sattelpunkte Zum Errechnen von möglichen Extrema, setzen wir $f_{x}$ und $f_{y}$ gleich 0.

$2x+y+1=0$

$x={\frac {-y-1}{2}}$

$2y+x+1=0$

$y={\frac {-x-1}{2}}$

nun setzen wir ein

$y={\frac {-{\frac {-y-1}{2}}-1}{2}}$

$y={\frac {y+1-2}{4}}$

$4y=y-1$

$3y=-1$

$y=-{\frac {1}{3}}$

und errechnen damit x:

$x={\frac {{\frac {1}{3}}-1}{2}}$

$x={\frac {-{\frac {2}{3}}}{2}}$

$x=-{\frac {1}{3}}$

Partielle Ableitungen zweiter Ordnung Nun errechnen wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung für die Hessematrix:

$f_{xx}=2$

$f_{xy}=f_{yx}=1$

$f_{yy}=2$

Hessematrix $H_{f}={\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}}=2*2-1*1=3$

$H_{f}>0$

$f_{xx}>0$

$\Longrightarrow (-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}})$ ist ein relatives Minimum

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