TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 74

Man berechne das Bereichsintegral ${\iint }_B(xy+x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ über dem Rechtecksbereich, welcher durch die Punkte $A(-1,1)$, $B(5,1)$, $C(5,5)$ und $D(-1,5)$ bestimmt ist.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}{\iint }_B(xy+x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\int }_{-1}^5{\int }_1^5(xy+x^2-y^2)\mathrm{d}y\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-1}^5{(\frac{1}{2}x{y}^2+x^{2}y-\frac{1}{3}{y}^3)|}_{y=1}^5\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-1}^5((\frac{5^2}{2}x+5x^2-\frac{5^3}{3})-(\frac{1^2}{2}x+1x^2-\frac{1^3}{3}))\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-1}^5(\frac{25}{2}x+5x^2-\frac{125}{3}-\frac{1}{2}x-x^2+\frac{1}{3})\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-1}^5(12x+4x^2-\frac{124}{3})\mathrm{d}x\\ & ={(\frac{12}{2}{x}^2+\frac{4}{3}{x}^3-\frac{124}{3}x)|}_{x=-1}^5\\ & =(6\cdot 5^2+\frac{4}{3}\cdot 5^3-\frac{124}{3}\cdot 5)-(6\cdot (-1{)}^2+\frac{4}{3}\cdot (-1{)}^3-\frac{124}{3}\cdot (-1))\\ & =6\cdot 25+\frac{4}{3}\cdot 125-\frac{124}{3}\cdot 5-6+\frac{4}{3}-\frac{124}{3}\\ & =150+\frac{500}{3}-\frac{620}{3}-6+\frac{4}{3}-\frac{124}{3}\\ & =144-\frac{240}{3}=144-80=64\end{array}$

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 11:24, 11. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 60

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 122 (ähnliches Beispiel)
• Diskussion im Informatikforum - SS08