TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS08/Beispiel 179

Man bestimme die Bogenlänge der folgenden Kurve:

$c(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\\end{pmatrix}},0\leq x(t)\leq 5,$

wobei $x=x(t)$ und $y=y(t)$ implizit durch $y^{2}=x^{3}$ gegeben sind.

Lösungsansatz von Sonni

VORSICHT: Diese Lösung ist mit hoher Wahrscheinlichkeit falsch.

Die implizite Angabe von y auflösen:

$y^{2}=x^{3}$

$y={\sqrt {x^{3}}}$

In die Matrix eintragen:

$c(t)={\begin{pmatrix}x\\{\sqrt {x^{3}}}\\\end{pmatrix}},0\leq x(t)\leq 5$

In die Formel zur Berechnung einsetzen: $\int _{0}^{5}{\sqrt {(x')^{2}+(({\sqrt {x^{3}}})')^{2}}}dt$ $=\int _{0}^{5}{\sqrt {1^{2}+({\frac {1}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}})^{2}}}dt$ $=\int _{0}^{5}{\sqrt {1+{\frac {1}{4}}*x^{\frac {3}{2}}}}dt$

Hier wurde der positive Wert der Wurzel eingesetzt. Da die Wurzel auch einen negativen Wert hat, muss in einem weiteren Schritt mit diesem gerechnet und dann summiert werden. Da das Ergebnis der beiden Schritte durch die Quadration der Wurzel gleich ist, genügt es auch den ersten Schritt doppelt zu nehmen.

$L=2*\int _{0}^{5}{\sqrt {1+{\frac {1}{4}}*x^{\frac {3}{2}}}}dt$