TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 132

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Parametrisieren Sie folgende Kurve nach der Bogenlänge:

.

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bogenlänge
Bogenlänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bogenlänge einer ebenen Kurve:


Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung:



Bogenlänge einer Raumkurve:


Lösungsvorschlag neu aus mmvc SS20[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Die allgemeine Formel für die Bogenlänge lautet
Parametrisierung nach der Bogenlänge bedeutet, dass bei einer Kurve für alle Parameterwerte gilt. Die Kurve ist dann nach der Bogenlänge parametrisiert.

Eine Sonderform der allgemeinen Bogenlängenformel, , die häufig verwendet wird, kann hier nicht verwendet werden. Sie wird nur im Spezialfall verwendet, wenn man für eine "herkömmliche" Funktion die Bogenlänge im Intervall berechnen möchte, und dafür letztendlich annimmt.

Allgemein wird so oder so die Formel für die sogenannte Euklidische Norm verwendet, nämlich für .

Soviel zum nötigen Vorwissen, welches wir nun für die eigentliche Aufgabe verwenden können:

Zuerst leiten wir die Stammfunktion ab:

Als nächstes setzen wir diese Ableitung in die Formel für die Euklidische Norm ein und erhalten: und erkennen dass es sich hierbei um eine binomische Formel handelt und wir sie nach und damit umformen können.

Das erleichtert die restliche Aufgabe enorm, denn jetzt benötigt man für das Ausrechnen des Integrals weder eine Substitution noch sonstige Kopfschmerzen:
und wir sind fertig. Für die untere Grenze wurde 0 eingesetzt, da in der Angabe so gegeben, für die obere wird bei der Parametrisierung nach Bogenlänge der Parameter t selbst genommen.


Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Ich, der den Lösungsvorschlag von mmvc SS20 verfasst hat, denke dass dieser Lösungsvorschlag komplett falsch ist).

lt. Prof Urbanek (under construction)
Anmerkung superphil0: ACHTUNG falsch abgeleitet: richtig (2*(t+1)^1/2) + t Anmerkung phpwutz(): Wolfram Alpha sagt: 2* wurzel(t+1)
Parametrisieren meint hier, die Funktion abhängig von der Bogenlänge auszudrücken (also ):

Bogenlänge

Mit der Angabe "" ist nur die untere Integrationsgrenze definiert. Falls wir bis integrieren würden, wäre die Bogenlänge natürlich auch ; daher "erfinden" wir zunächst eine willkürliche obere Grenze :


Grenzen einsetzen:

Kleine Lösungsformel
Kleine Lösungsformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Die negative Wurzel kann man gleich wieder vergessen, da , und somit sicher nicht im geforderten Wertebereich liegt.)

Damit haben wir das oben eingeführte als Funktion von ausgedrückt, und können insgesamt schreiben:

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]