TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 119

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Parametrisieren Sie folgende Kurve nach der Bogenlänge:

x(t)={t^2/2\choose\tfrac{1}{3}(2t+1)^{3/2}},\quad t\geq0.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Bogenlänge[Bearbeiten]

Bogenlänge einer ebenen Kurve: s=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y'^2}dx


Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung:  \vec x (t) = \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)
s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{x'^2+y'^2}dt



Bogenlänge einer Raumkurve: s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}dt

Lösungsvorschlag von Baccus[Bearbeiten]

Parametrisieren meint hier, die Funktion abhängig von der Bogenlänge auszudrücken (also f(s)=\ldots):

Bogenlänge s=\int\sqrt{\left(t^2/2\right)'^2+\left(\tfrac{1}{3}(2t+1)^{3/2}\right)'^2}=

Mit der Angabe "t\geq0" ist nur die untere Integrationsgrenze definiert. Falls wir bis \infty integrieren würden, wäre die Bogenlänge natürlich auch \infty; daher "erfinden" wir zunächst eine willkürliche obere Grenze u:

=\int_0^u\sqrt{(t^2)+(2t+1)}dt =\int_0^u\sqrt{(t+1)^2}dt=

=\left.\frac{t^2}{2}+t\right|_0^u

Grenzen einsetzen:

s=\frac{u^2}{2}+u

u^2+2u-2s=0

Kleine Lösungsformel[Bearbeiten]

x^2+px+q=0\quad\Longrightarrow\quad x_{1,2}=-\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\tfrac{p}{2}\right)^2-q}

u=-\frac{2}{2}\pm\sqrt{\frac{4}{4}+2s}

u=-1\pm\sqrt{1+2s}

(Die negative Wurzel kann man gleich wieder vergessen, da (-1)-\sqrt{\ldots}\;<0, und somit sicher nicht im geforderten Wertebereich liegt.)

Damit haben wir das oben eingeführte u als Funktion von s ausgedrückt, und können insgesamt schreiben:

{(\sqrt{1+2s}-1)^2/2\choose
\tfrac{1}{3}(2(\sqrt{1+2s}-1)+1)^{3/2}}


Links[Bearbeiten]

Ähnliche Beispiele: