TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS08/Beispiel 193

Zeigen Sie, daß das Kurvenintegral ${\int }_C{y}^{2}dx+2xdy)$ wegunabhängig ist und berechnen Sie es

von (1, 1) nach (3, 2);

a) entlang des Streckenzuges $(1,1)\to (3,1)\to (3,2)$;
b) entlang der Geraden, die die Punkte $(1,1)$ und $(3,2)$ verbindet.

Lösungsansatz von Sonni

• Integritätsbedingung:

Muss erfüllt sein, um überhaput wegunabhängig sein zu können:

$\frac{\delta y^2}{\delta y}=2y$

$\frac{\delta 2xy}{\delta x}=2y$

$2y=2y\to$ ist erfüllt

• mögliche Vektoren

${\overrightarrow{a}}_{(t)}=\left(\begin{array}{c}t\\ 1\end{array}\right),[1,3]$

${\overrightarrow{b}}_{(t)}=\left(\begin{array}{c}3\\ t\end{array}\right),[1,2]$

${\overrightarrow{c}}_{(t)}=\left(\begin{array}{c}2t+1\\ t+1\end{array}\right),[0,1]$

Streckenzug $(1,1)\to (3,1)\to (3,2)$ (Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$)

$\int \overrightarrow{f}({\overrightarrow{a}}_{(t)})\ast \overrightarrow{a}{\text{'}}_{(t)}dt+\int \overrightarrow{f}({\overrightarrow{b}}_{(t)})\ast \overrightarrow{b}{\text{'}}_{(t)}dt$

$={\int }_1^3{f}_{1(t,1)}\ast a{\text{'}}_{1(t)}+f_{2(t,1)}\ast a{\text{'}}_{2(t)}dt+{\int }_1^2{f}_{1(3,t)}\ast b{\text{'}}_{1(t)}+f_{2(3,t)}\ast b{\text{'}}_{2(t)}dt$

$=(3-1)+(12-3)=11$

Streckenzug $(1,1)\to (3,2)$ (Vektor $\overrightarrow{c}$)

${\int }_0^1{f}_{1(2t+1,t+1)}\ast c{\text{'}}_{1(t)}+f_{2(2t+1,t+1)}\ast a{\text{'}}_{2(t)}dt$

$=11$

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