TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 408

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Man löse das Gleichungssystem:

\begin{matrix}
-0.35x_1 & + &   1.5x_2 & + & 122.2x_3 & = & 126 \\
105.7x_1 & - & 440.9x_2 & - & 173.7x_3 & = & -1285 \\
 21.5x_1 & - & 101.8x_2 & + &  33.4x_3 & = & -229
\end{matrix}

mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens (a) ohne Pivotisierung, (b) mit Pivotisierung bei einer Rechengenauigkeit von 4 signifikanten Stellen

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Beispiel (a)[Bearbeiten]

\begin{matrix}
-0.35x_1 & + &   1.5x_2 & + & 122.2x_3 & = & 126 \\
105.7x_1 & - & 440.9x_2 & - & 173.7x_3 & = & -1285 \\
 21.5x_1 & - & 101.8x_2 & + &  33.4x_3 & = & -229
\end{matrix}

Zweite Zeile -\frac{105.7}{-0.35} der ersten Zeile. Dritte Zeile -\frac{21.5}{-0.35} der ersten Zeile.

\begin{matrix}
-0.35x_1 & + &   1.5x_2 & + & 122.2x_3 & = & 126 \\
         &   &  12.1x_2 & + & 36730x_3 & = & 36770 \\
         & - & 9.657x_2 & + &  7540x_3 & = & 7511
\end{matrix}

Dritte Zeile +\frac{9.657}{12.1} der zweiten Zeile.

\begin{matrix}
-0.35x_1 & + &   1.5x_2 & + & 122.2x_3 & = & 126 \\
         &   &  12.1x_2 & + & 36730x_3 & = & 36770 \\
         &   &          &   & 36850x_3 & = & 36860
\end{matrix}

x_3 = 1, x_2 = 3.305, x_1 = 3,307

Beispiel (b)[Bearbeiten]

\begin{matrix}
-0.35x_1 & + &   1.5x_2 & + & 122.2x_3 & = & 126 \\
105.7x_1 & - & 440.9x_2 & - & 173.7x_3 & = & -1285 \\
 21.5x_1 & - & 101.8x_2 & + &  33.4x_3 & = & -229
\end{matrix}

Tausche Zeilen 1/2 und Spalten 1/2.

\begin{matrix}
-440.9x_2 & + & 105.7x_1 & - & 173.7x_3 & = & -1285 \\
   1.5x_2 & - &  0.35x_1 & + & 122.2x_3 & = & 126 \\
-101.8x_2 & + &  21.5x_1 & + &  33.4x_3 & = & -229
\end{matrix}

Zweite Zeile -\frac{1.5}{-440.9} der ersten Zeile. Dritte Zeile +\frac{101.8}{-440.9} der ersten Zeile.

\begin{matrix}
-440.9x_2 & + &   105.7x_1 & - & 173.7x_3 & = & -1285 \\
          &   & 0.00960x_1 & + & 121.6x_3 & = & 121.6 \\
          &   &   2.905x_1 & + & 73.5058x_3 & = & 67.69
\end{matrix}

Tausche Spalte 2/3.

\begin{matrix}
-440.9x_2 & - & 173.7x_3 & + &   105.7x_1 & = & -1285 \\
          &   & 121.6090x_3 & + & 0.0096x_1 & = & 121.6283 \\
          &   & 73.5058x_3 & - &   2.9052x_1 & = & 67.6954
\end{matrix}

Dritte Zeile -\frac{73.5058}{121.6090} der zweiten Zeile.

\begin{matrix}
-440.9x_2 & - & 173.7x_3 & + &   105.7x_1 & = & -1285 \\
          &   & 121.6090x_3 & + & 0.0096x_1 & = & 121.6283 \\
          &   &          & - &   2.9110x_1 & = & -5.8221
\end{matrix}

x_1 = 2.000 = 2 , x_3 = 1.000 = 1, x_2 = 3

Lösung aus Karigl 2004[Bearbeiten]

Links[Bearbeiten]