TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 264

Man berechne

$\int _{0}^{\infty }x\cdot e^{-x^{2}}\;dx$

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Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösungsvorschlag von mnemetz

Siehe Lösung aus SS06 SS07 Beispiel 31

Lösungsvorschlag von Baccus

Substitution:

$u=-x^{2}\Longrightarrow du=-2x\;dx\Longrightarrow dx=-{\frac {du}{2x}}$

Integral ist uneigentlich (2. Art) (Skriptum M1/SS05, S.75):

$\lim _{a\to \infty }\int _{0}^{a}x\cdot e^{u}\cdot -{\frac {1}{2x}}\;du=\lim _{a\to \infty }\int _{0}^{a}-{\frac {x\cdot e^{u}}{2\cdot x}}\;du=\lim _{a\to \infty }-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}{e^{u}}\;du=$

Resubstitution:

$=\lim _{a\to \infty }\left.\left(-{\frac {e^{-x^{2}}}{2}}\right)\right\vert _{0}^{a}=$

Grenzen einsetzen:

$=\lim _{a\to \infty }\left(-{\frac {e^{-a^{2}}}{2}}+{\frac {e^{0}}{2}}\right)=\lim _{a\to \infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {\frac {1}{e^{a^{x}}}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}-0$

--Baccus 01:56, 28. Mär 2007 (CEST)

Lösung lt. Prof Urbanek

Das uneigentliche Integral hat die Bauart $\int u'.e^{u}$ und wäre somit ein Fall für die Substitution.

u = -x² und u' ist -2x. Das Integral hat dann die Form $-{\frac {1}{2}}\int 2x.e^{x^{2}}dx$

$=\lim _{a\to \infty }\left.\left(-{\frac {e^{-x^{2}}}{2}}\right)\right\vert _{0}^{a}=$ $\lim _{a\to \infty }\left.\left(-{\frac {1}{2.e^{x^{2}}}}\right)\right\vert _{0}^{a}$

ausgewertet an den Grenzen $-{\frac {1}{2*\infty }}-{\frac {-1}{2}}=-0+{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$

da $e^{0}=1$ und $e^{\infty }\rightarrow \infty$

Ergebnis wie oben.

Hapi

Links

• Diskussion Informatik Forum SS07 Beispiel 31 (alt)
• Diskussion Informatik Forum SS08 Beispiel35