TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 130

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f'(x)$ :
$f(x)=\arcsin({\sqrt[{3}]{x^{2}-2}})$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

${\biggl (}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\biggr )}'=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)$

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung) (Satz 5.5)

arcsin'

Arcsin'

$\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ Folgt aus Umkehrregel.

Lösung:[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionsmenge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arcsin ist definiert im Intervall [-1, +1].

Auf die Funktion $f(x)$ angewendet, heißt das:

{\begin{array}{rcll}-1\leq &{\sqrt[{3}]{x^{2}-2}}&\leq 1&|\uparrow 3\\-1\leq &x^{2}-2&\leq 1&|+2\\1\leq &x^{2}&\leq 3&|{\sqrt {\quad }}\\1\leq &|x|&\leq {\sqrt {3}}\\\end{array}}

$\Longrightarrow {\text{Definitionbereich ist:}}{\begin{cases}1&\leq x\leq {\sqrt {3}}\\-1&\geq x\geq -{\sqrt {3}}\end{cases}}$

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung von $\arcsin$ ist: $\arcsin '(n)={\frac {1}{\sqrt {1-n^{2}}}}$

Ableiten der Funktion $f(x)$ mittels Kettenregel:

$f'(x)=\arcsin '({\sqrt[{3}]{x^{2}-2}})={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\sqrt[{3}]{x^{2}-2}}\right)^{2}}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\frac {1}{\left({\sqrt[{3}]{x^{2}-2}}\right)^{2}}}\cdot 2x={\frac {2x}{{\sqrt {1-{\sqrt[{3}]{(x^{2}-2)^{2}}}}}\cdot 3{\sqrt[{3}]{(x^{2}-2)^{2}}}}}$

Nenner-Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Daraus ergibt sich, dass die Funktion an folgenden Stellen ebenfalls undefiniert ist:

erster Nenner-Term:

${\begin{array}{rl}1-{\sqrt[{3}]{(x^{2}-2)^{2}}}=0&|\ -1\\-{\sqrt[{3}]{(x^{2}-2)^{2}}}=-1&|\ \cdot (-1)\\{\sqrt[{3}]{(x^{2}-2)^{2}}}=1&|\ \uparrow 3\\(x^{2}-2)^{2}=1&|\ {\sqrt {}}\\x^{2}-2=\pm 1&|\ +2\\x^{2}=1;3&\Rightarrow \\x=\pm 1;\pm {\sqrt {3}}\end{array}}$

zweiter Nenner-Term:

${\begin{array}{rl}{\sqrt[{3}]{(x^{2}-2)^{2}}}=0&|\ \uparrow 3\\(x^{2}-2)^{2}=0&|\ {\sqrt {}}\\x^{2}-2=\pm 0&|\ +2\\x^{2}=\pm 2&\Rightarrow \\x=\pm {\sqrt {2}}\end{array}}$