TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 39

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Man berechne:

$\int \frac{e^x}{e^{2x}-e^x-6}\cdot dx$

Lösungsvorschlag

$\int \frac{e^x}{e^{2x}-e^x-6}\cdot dx=$

Integration durch Subtitution:

$t=e^x\Rightarrow \frac{t}{t^2-t-6}\Rightarrow \frac{dt}{dx}=(e^x{)}^{\prime }\Rightarrow \frac{dt}{e^x}=dx=\frac{dt}{t}$ $=\int \frac{t}{t^2-t-6}\cdot \frac{dt}{t}$

Partialbruchzerlegung:

$t_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{(\frac{1}{2}{)}^2+6}\Rightarrow t_1=2t_2=-3$

$\Rightarrow \frac{1}{t^2-t-6}=\frac{A}{(t+2)}+\frac{B}{(t-3)}\Rightarrow A(t-3)+B(t+2)=1$

t=3:

$1=5B\Rightarrow B=\frac{1}{5}$

t=-2:

$1=-5A\Rightarrow A=-\frac{1}{5}$ $\Rightarrow \frac{1}{5}(\int \frac{1}{(t-3)}dt-\int \frac{1}{(t+2)}dt)=\frac{1}{5}(ln|e^x-3|-ln|e^x+2|+c)$

Anmerkungen

Ich weiß leider nicht ob das stimmt, aber es kommen ziemlich schöne Zahlen bei der pq-Formel heraus.

Also das Ergebnis stimmt schon (siehe https://web.archive.org/web/20180817164507/http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/)

Rechenweg-Fehler

bei der quadratischen Formel gehört x1,2 = -p/2 +- sqrt(p²/4 - q) du hast das - ignoriert. bei den nullstellen gehört (x-x1)*(x-x2) und nicht +. Trotzdem bemerkenswert dass sich beide Fehler so aufheben dass das Ergebnis wieder stimmt.

Links

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