TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 39

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Man berechne:

\int\frac{e^{x}}{e^{2x}-e^{x}-6}\cdot dx

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

\int\frac{e^{x}}{e^{2x}-e^{x}-6}\cdot dx=

Integration durch Subtitution:

t=e^{x}\Rightarrow\frac{t}{t^{2}-t-6}\Rightarrow\frac{dt}{dx}=(e^{x})'\Rightarrow\frac{dt}{e^{x}}=dx=\frac{dt}{t} =\int\frac{t}{t^{2}-t-6}\cdot\frac{dt}{t}

Partialbruchzerlegung:

t_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+6}\Rightarrow t_{1}=2\  t_{2}=-3

\Rightarrow\frac{1}{t^{2}-t-6}=\frac{A}{(t+2)}+\frac{B}{(t-3)}\Rightarrow A(t-3)+B(t+2)=1

t=3:

1=5B\Rightarrow B=\frac{1}{5}

t=-2:

1=-5A\Rightarrow A=-\frac{1}{5} \Rightarrow\frac{1}{5}(\int\frac{1}{(t-3)}dt-\int\frac{1}{(t+2)}dt)=\frac{1}{5}(ln|e^x-3|-ln|e^x+2|+c)

Anmerkungen[Bearbeiten]

Ich weiß leider nicht ob das stimmt, aber es kommen ziemlich schöne Zahlen bei der pq-Formel heraus.

Also das Ergebnis stimmt schon (siehe https://web.archive.org/web/20180817164507/http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/)


Rechenweg-Fehler

bei der quadratischen Formel gehört x1,2 = -p/2 +- sqrt(p²/4 - q) du hast das - ignoriert. bei den nullstellen gehört (x-x1)*(x-x2) und nicht +. Trotzdem bemerkenswert dass sich beide Fehler so aufheben dass das Ergebnis wieder stimmt.

Links[Bearbeiten]