TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 229

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Man berechne

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Substitutionsregel

mit   (Satz 5.41)

Partielle_Integration
Partielle Integration[Bearbeiten, Wikipedia, 5.41 Satz]

alias

Lösung von Mhaslhofer 17:04, 18. Okt. 2009 (CEST)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Formeln sind zum Lösen notwendig (Die Herleitung ist weiter unten beschrieben)

Durch Anwendung der partiellen Integration bekommt man:

(nicht ganz) überraschender Weise findet sich das gesuchte Integral auch auf der rechten Seite der Gleichung - wir bringen den Term einfach nach links (und lösen das andere Integral auf):

Jetzt einfach nur noch unformen:

Nebenrechnung 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die erste Nebenrechnung zeigt:

Wir substituieren:

und lösen daher:

durch partielle Integration erhalten wir:

Wenn wir jetzt resubstituieren kommen wir auf:

Der Ausdruck: ist unschön - wir können ihn durch:

ersetzen.

Und den Term in die Lösung einsetzen:

Nebenrechnung 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zweite Nebenrechnung zeigt:

Wir substituieren:

und erhalten so:

Da aus:

folgt, könnnen wir unformen auf:

Durch Anwendung der partiellen Integration erhalten wir:

und daher:

Wir resubstituieren:

Wie in #Nebenrechnung 1 können wir:

ersetzen.

und kommen so auf: