TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 229

Man berechne $\int x\cdot \arcsin x\;dx$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Partielle_Integration

Partielle Integration

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$ alias $\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$

Lösung von Mhaslhofer 17:04, 18. Okt. 2009 (CEST)

Folgende Formeln sind zum Lösen notwendig (Die Herleitung ist weiter unten beschrieben)

$\int \arcsin x\;dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+c$

$\int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx={\frac {1}{2}}(x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x)+c$

Durch Anwendung der partiellen Integration bekommt man:

$\int x\arcsin x\;dx=x(x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}})-\int x\arcsin x\;dx-\int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx$

(nicht ganz) überraschender Weise findet sich das gesuchte Integral auch auf der rechten Seite der Gleichung - wir bringen den Term einfach nach links (und lösen das andere Integral auf):

$2\cdot \int x\arcsin x\;dx=x(x\ \arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}})-{\frac {1}{2}}(x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x)$

Jetzt einfach nur noch unformen:

$\int x\arcsin x\;dx={\frac {1}{2}}(x^{2}\arcsin x+x{\sqrt {1-x^{2}}}-{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{2}}-{\frac {\arcsin x}{2}})$

$\int x\arcsin x\;dx={\frac {1}{4}}(2x^{2}\arcsin x+x{\sqrt {1-x^{2}}}-\arcsin x)+c$

Nebenrechnung 1

Die erste Nebenrechnung zeigt: $\int \arcsin x\;dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+c$

$\int \arcsin x\;dx$

Wir substituieren:

$x=\sin t$

$\;dx=\cos t\;dt$

und lösen daher:

$\int \arcsin(\sin t)\cos t\;dt=\int t\cos t\;dt$

durch partielle Integration erhalten wir:

$\int t\cos t\;dt=t\sin t-\int \sin t\;dt=t\sin t+\cos t$

Wenn wir jetzt resubstituieren kommen wir auf:

$\int \arcsin x\;dx=\arcsin x\cdot x+\cos(\arcsin x)$

Der Ausdruck: $\cos(\arcsin x)$ ist unschön - wir können ihn durch:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\Leftrightarrow \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$

$\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-\sin ^{2}(\arcsin x)}}={\sqrt {1-x^{2}}}$ ersetzen.

Und den Term in die Lösung einsetzen:

$\int \arcsin x\;dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+c$

Nebenrechnung 2

Die zweite Nebenrechnung zeigt:$\int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx={\frac {1}{2}}(x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x)+c$

$\int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx$

Wir substituieren:

$x=\sin t$

$\;dx=\cos t\;dt$

und erhalten so:

$\int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx=\int {\sqrt {1-\sin ^{2}t}}\cdot \cos t\;dt$

Da aus:

$\sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1\Leftrightarrow {\sqrt {1-\sin ^{2}t}}=\cos t$

folgt, könnnen wir unformen auf:

$\int {\sqrt {1-\sin ^{2}t}}\cdot \cos t\;dt=\int \cos t\cdot \cos t\;dx$

Durch Anwendung der partiellen Integration erhalten wir:

$\int \cos t\cdot \cos t\;dx=\cos t\cdot \sin t-\int -\sin t\cdot \sin t\;dx=\cos t\cdot \sin t+\int \sin ^{2}t;dx=\cos t\cdot \sin t+\int 1-\cos ^{2}t\;dx$

und daher:

$\int \cos t\cdot \cos t\;dx=\cos t\cdot \sin t+\int 1\;dx-\int \cos ^{2}t\;dx$

$2\cdot \int \cos ^{2}t\;dx=\cos t\cdot \sin t+t$

$\int \cos ^{2}t\;dx={\frac {1}{2}}(\cos t\cdot \sin t+t)$

Wir resubstituieren:

$\int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx={\frac {1}{2}}(\cos(\arcsin x)\cdot x+\arcsin x)$

Wie in #Nebenrechnung 1 können wir:

$\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-\sin ^{2}(\arcsin x)}}={\sqrt {1-x^{2}}}$ ersetzen.

und kommen so auf:

$\int {\sqrt {1-x^{2}}}\;dx={\frac {1}{2}}(x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x)+c$