TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS08/Beispiel 52

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 232. Vergleich

Man berechne: $\int \frac{(e^x-1)}{(e^{2x}+1)}dx$

Lösungshinweis

lt. Prof Gittenberger: Substitution und Partialbruchzerlegung helfen hier weiter.

Lösungsvorschlag

Substitution:

$e^x=u;dx\ast e^x=du;dx=\frac{du}{u}$

Partialbruchzerlegung:

$\frac{u-1}{u(u^2+1)}=\frac{Au+B}{u^2+1}+\frac{C}{u}|\cdot u(u^2+1)$

$u-1=(Au+B)u+C(u^2+1)=A{u}^2+Bu+C(u^2+1)$

$u-1=1u^2+1u+(-1)(u^2+1)$

$A=B=1C=-1$

$\frac{Au+B}{u^2+1}+\frac{C}{u}=\frac{u+1}{u^2+1}-\frac{1}{u}=\frac{u}{u^2+1}+\frac{1}{u^2+1}-\frac{1}{u}$

$\int (\frac{u}{u^2+1}+\frac{1}{u^2+1}-\frac{1}{u})du$

Integrieren:

$\int \frac{udu}{u^2+1}+\int \frac{du}{u^2+1}-\int \frac{du}{u}$

$\int \frac{udu}{u^2+1}:v:=u^2+1;dv=u:\int \frac{dv}{v}=\ln v:\int \frac{udu}{u^2+1}=\ln (u^2+1)$

$\int \frac{du}{u^2+1}=\arctan (u)$

$\int \frac{du}{u}=\ln u$

$\int \frac{udu}{u^2+1}+\int \frac{du}{u^2+1}-\int \frac{du}{u}=\ln (u^2+1)+\arctan u-\ln u$

Rücksubstitution:

$=\ln (1+e^{2x})+\arctan e^x-\ln e^x$

Kommentare

Die Lösung ist fast richtig, laut Mathematica kommt allerdings 1/2ln!

--62.178.91.183 19:34, 17. Mär. 2009 (CET) da beim 2. mal substituieren:

$\int \frac{udu}{u^2+1}:v:=u^2+1;dv=2udu:\frac{1}{2}\int \frac{dv}{v}=\frac{1}{2}\ln v:\frac{1}{2}\int \frac{udu}{u^2+1}=\frac{1}{2}\ln (u^2+1)$

ist die richtige lösung:

$\frac{1}{2}\ln (1+e^{2x})+\arctan e^x-x$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum SS07 Beispiel 48

Ist noch aktuell!