TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 316

Man untersuche für beliebige $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ den Grenzwert $\lim _{t\rightarrow 0}f(\alpha t,\beta t)$ . Ist die Funktion $f(x,y)$ an $(0,0)$ stetig?
$f(x,y)={\frac {2y^{2}}{|x|+y^{2}}}\qquad \qquad {\text{fuer }}\,\,(x,y)\neq (0,0)\,\,{\text{ und }}\,\,f(0,0)=0$

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Lösungsvorschlag von Drunken Monkey (SS06)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\lim \limits _{t\to 0}f(\alpha t,\beta t)=\lim \limits _{t\to 0}{\frac {2\alpha ^{2}t^{2}}{|\alpha t|+\beta ^{2}t^{2}}}=\pm \lim \limits _{t\to 0}{\frac {2\alpha ^{2}t^{2}}{\alpha t+\beta ^{2}t^{2}}}=\pm \lim \limits _{t\to 0}{\frac {2\alpha ^{2}}{{\tfrac {\alpha }{t}}+\beta }}=\pm {\frac {2\alpha ^{2}}{\infty +\beta }}=0$

Daher ist f stetig.

Edit von leiwand:

Prinzipiell bin ich Deiner Meinung, aber statt $\alpha$ muss oben $\beta$ vorkommen. Tut der Lösung aber nicht weh.

Edit von lumpi:

Leider falsch da nicht stetig wegen Fall Alpha = 0 Beta != 0, bei dem als Grenzwert 2 rauskommt. Siehe untere Lösung.

Lösung in Übung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man muss drei Fälle unterscheiden:

$\alpha =\beta =0\qquad f(\alpha t,\beta t)=f(0,0)=0\;(perDefinition)\qquad \Rightarrow \lim _{t\to 0}=0$
$\alpha =0,\;\beta \neq 0\qquad f(\alpha t,\beta t)={\frac {2(\beta t)^{2}}{0+(\beta t)^{2}}}=2\qquad \qquad \qquad \qquad \Rightarrow \lim _{t\to 0}=2$
$\alpha \neq 0,\;\beta \;beliebig\qquad f(\alpha t,\beta t)={\frac {2(\beta t)^{2}}{|\alpha t|+(\beta t)^{2}}}={\frac {2\beta ^{2}t}{|a|+\beta ^{2}t}}\qquad \Rightarrow \lim _{t\to 0}=0$