TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 61

Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.

Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Zylinder von maximalem Volumen.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Auron

$V=r^{2}\pi h\rightarrow max.$

Als NB benötigen wir eine Beziehung zwischen r und h und auch R (Kugelradius den wir als gegeben bzw. Konstante ansehen)

Dazu schauen wir uns mal die Seitenansicht an und erkennen, dass

$r^{2}+({\frac {h}{2}})^{2}=R^{2}$

$NB:\quad ({\frac {h}{2}})^{2}+r^{2}-R^{2}=0$

Dann gehts mit den Lagrangeschen Multiplikatoren los

$F(r,h,\lambda )=r^{2}\pi h+\lambda ({\frac {h^{2}}{4}}+r^{2}-R^{2})$ (Anm. lyrie: Hier wird mit $+\lambda$ gerechnet, im Buch steht $-\lambda$. Es ändern sich nur die Vorzeichen im Rechenweg, das Ergebnis ist das selbe.)

$F_{r}=2r\pi h+2\lambda r=0\Rightarrow \lambda =-{\frac {2r\pi h}{2r}}=-\pi h$

$F_{h}=r^{2}\pi +{\frac {h}{2}}\lambda =0\Rightarrow \lambda =-{\frac {2r^{2}\pi }{h}}$

$F_{\lambda }={\frac {h^{2}}{4}}+r^{2}-R^{2}$

Beide $\lambda$ - Ausdrücke gleichsetzen

$-\pi h=-{\frac {2r^{2}\pi }{h}}\quad /\cdot (-h)/:\pi$

$h^{2}=2r^{2}$

$h=r{\sqrt {2}}\qquad$ (da $h_{2}$ < 0 nicht erlaubt -> neg. Höhe!)

in $F_{\lambda }$ eingesetzt:

${\frac {2r^{2}}{4}}+r^{2}-R^{2}=0$

$r^{2}={\frac {R^{2}}{1+{\frac {1}{2}}}}$

$r={\frac {R}{\sqrt {1+{\frac {1}{2}}}}}$

und das r dann wieder oben in die "halbfertige h-Formel" eingesetzt:

$h={\frac {R{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\frac {1}{2}}}}}$

somit ist max. V

$V={\frac {R^{2}}{1+{\frac {1}{2}}}}\cdot {\frac {R{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\frac {1}{2}}}}}\pi ={\frac {R^{2}}{1+{\frac {1}{2}}}}\cdot {\frac {R{\sqrt {2}}{\sqrt {1+{\frac {1}{2}}}}}{1+{\frac {1}{2}}}}\pi ={\frac {R^{2}}{1+{\frac {1}{2}}}}\cdot {\frac {R{\sqrt {2+1}}}{1+{\frac {1}{2}}}}\pi ={\frac {R^{3}\cdot {\sqrt {3}}}{\frac {9}{4}}}\cdot \pi ={\frac {4R^{3}\pi }{3{\sqrt {3}}}}$

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Diskussion Informatik-Forum WS07 Beispiel 141

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