TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 207

Für die Funktion $f(t)={\begin{cases}-1\,\,\,(t\leq 1)\\1\,\,\,(t>1)\end{cases}}$

berechnen Sie $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt$. Ist $F(x)$ stetig bzw. differenzierbar?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung

Die Nummerierung bezieht sich auf die dritte Auflage des Buches. Ist in der vierten aber weitgehend dieselbe.

Hilfreiches

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ eine Stammfunktion von f. Jede beliebige Stammfunktion F von f erfüllt:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Anmerkung: Statt $F(b)-F(a)$ schreibt man kürzer auch $F(x){\Big |}_{a}^{b}$. Bei den Stetigkeitskriterien wird immer nur ein einzelner Punkt betrachtet. Um Stetigkeit für alle unendlich weiteren Punkte zu zeigen, wird so argumentiert: Wenn stetige Funktionen zusammengesetzt werden, entsteht wieder eine stetige Funktion. Zusammen mit den Spezialfällen wird so schließlich die gesamte Funktion betrachtet.

Los gehts

An der Stelle $x_{0}=1$ ist f(t) sicherlich unstetig, denn (wie in Beispiel 4.81b)

$\lim _{t\to 1-}f(x)=-1\neq 1=\lim _{t\to 1+}f(x)$

Nach Definition 4.84 müssen für Stetigkeit Grenzwertbildung und Funktionsauswertung vertauschbar sein. Wir beginnen mit dem linken Grenzwert.

$\lim \limits _{t\to 1-}f(t)=-1=f(1)=f(\lim \limits _{t\to 1-}t)$

Das passt soweit. Für den zweiten Fall (rechtsseitiger Grenzwert) gilt aber

$\lim \limits _{t\to 1+}f(t)=1\neq -1=f(1)=f(\lim \limits _{t\to 1+}t)$

Über die Argumentation mit der Zusammensetzung gilt also Stetigkeit für f in $(-\infty ,1],(1,\infty )$

Fall 1: $x\leq 1$

$F(x)=\int _{0}^{x}(-1)dt=-t{\Big |}_{0}^{x}=-x-(-0)=-x$

Fall 2: $x>1$

$F(x)=\int _{0}^{1}(-1)dt+\int _{1}^{x}(1)dt=-t{\Big |}_{0}^{1}+t{\Big |}_{1}^{x}=-1-(-0)+x-1=x-2$

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

F(x) ist als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{1\}$. Auch an der Stelle x=1 ist F(x) stetig, denn Grenzwertbildung und und Funktionsauswertung sind vertauschbar

$\lim _{x\to 1-}F(x)=-1=\lim _{x\to 1+}F(x)\Longrightarrow F(\lim \limits _{x\to 1}x)=F(1)=-1=\lim \limits _{x\to 1}F(x)$

F(x) ist an der Stelle 1 nicht differenzierbar. Nach Definition 5.1 muss der Grenzwert an der Stelle 1 existieren. Es gilt aber

$\lim \limits _{x\to 1-}{\frac {F(x)-F(1)}{x-1}}=$ $\lim \limits _{x\to 1-}{\frac {-x-(-1)}{x-1}}=$ $\lim \limits _{x\to 1-}{\frac {-(x-1)}{x-1}}=$ ${\frac {-1}{1}}=-1$

$\lim \limits _{x\to 1+}{\frac {F(x)-F(1)}{x-1}}=$ $\lim \limits _{x\to 1+}{\frac {(x-2)-(-1)}{x-1}}=$ $\lim \limits _{x\to 1+}{\frac {x-1}{x-1}}=$ ${\frac {1}{1}}=1$

Nach Definition 4.82 („jede Folge“) dürften sich die beiden Grenzwerte nicht unterscheiden. Folglich existiert er nicht. Auch Beispiel 5.2e deutet das an.

Anmerkungen

Für die Präsentation dieser Lösung habe ich alle Punkte bekommen. Es sollte also passen. Wenn man ähnliche Beispiele oder den Bearbeitungsverlauf ansieht, gibt's immer wieder Diskussionen über die Fallunterscheidungen. Die Tutorin habe ich explizit noch nach der Fallunterscheidung gefragt und sie meinte, die soll schon auf x basieren und nicht auf t.

Siehe auch:Vorlage:DefinitionVorlage:Extern>

Für die Funktion $f(t)={\begin{cases}-1\,\,\,(t\leq 1)\\1\,\,\,(t>1)\end{cases}}$ berechnen Sie $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt$. Ist $F(x)\!$ stetig bzw. differenzierbar?

Lösung

Die Nummerierung bezieht sich auf die dritte Auflage des Buches. Ist in der vierten aber weitgehend dieselbe.

Hilfreiches

 Satz 5.55: Sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$ eine Stammfunktion von f. Jede beliebige Stammfunktion F von f erfüllt $\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

 Statt $F(b)-F(a)$ schreibt man kürzer auch $F(x){\Big |}_{a}^{b}$

 Bei den Stetigkeitskriterien wird immer nur ein einzelner Punkt betrachtet. Um Stetigkeit für alle unendlich weiteren Punkte zu zeigen, wird so argumentiert: Wenn stetige Funktionen zusammengesetzt werden, entsteht wieder eine stetige Funktion. Zusammen mit den Spezialfällen wird so schließlich die gesamte Funktion betrachtet.

Los gehts

An der Stelle $x_{0}=1$ ist f(t) sicherlich unstetig, denn (wie in Beispiel 4.81b)

$\lim _{t\to 1-}f(x)=-1\neq 1=\lim _{t\to 1+}f(x)$

Nach Definition 4.84 müssen für Stetigkeit Grenzwertbildung und Funktionsauswertung vertauschbar sein. Wir beginnen mit dem linken Grenzwert.

$\lim \limits _{t\to 1-}f(t)=-1=f(1)=f(\lim \limits _{t\to 1-}t)$

Das passt soweit. Für den zweiten Fall (rechtsseitiger Grenzwert) gilt aber

$\lim \limits _{t\to 1+}f(t)=1\neq -1=f(1)=f(\lim \limits _{t\to 1+}t)$

Über die Argumentation mit der Zusammensetzung gilt also Stetigkeit für f in $(-\infty ,1],(1,\infty )$

Fall 1: $x\leq 1$

$F(x)=\int _{0}^{x}(-1)dt=-t{\Big |}_{0}^{x}=-x-(-0)=-x$

Fall 2: $x>1$

$F(x)=\int _{0}^{1}(-1)dt+\int _{1}^{x}(1)dt=-t{\Big |}_{0}^{1}+t{\Big |}_{1}^{x}=-1-(-0)+x-1=x-2$

Warum muss man in diesem Fall eine Summe zweier Integrale bilden? -- Weil für x > 1 'f(x) = 1' gilt, und für x <= 1 'f(x) = -1'.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

F(x) ist als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{1\}$. Auch an der Stelle x=1 ist F(x) stetig, denn Grenzwertbildung und und Funktionsauswertung sind vertauschbar

$\lim _{x\to 1-}F(x)=-1=\lim _{x\to 1+}F(x)\Longrightarrow F(\lim \limits _{x\to 1}x)=F(1)=-1=\lim \limits _{x\to 1}F(x)$

F(x) ist an der Stelle 1 nicht differenzierbar. Nach Definition 5.1 muss der Grenzwert an der Stelle 1 existieren. Es gilt aber

$\lim \limits _{x\to 1-}{\frac {F(x)-F(1)}{x-1}}=$ $\lim \limits _{x\to 1-}{\frac {-x-(-1)}{x-1}}=$ $\lim \limits _{x\to 1-}{\frac {-(x-1)}{x-1}}=$ ${\frac {-1}{1}}=-1$

$\lim \limits _{x\to 1+}{\frac {F(x)-F(1)}{x-1}}=$ $\lim \limits _{x\to 1+}{\frac {(x-2)-(-1)}{x-1}}=$ $\lim \limits _{x\to 1+}{\frac {x-1}{x-1}}=$ ${\frac {1}{1}}=1$

Nach Definition 4.82 („jede Folge“) dürften sich die beiden Grenzwerte nicht unterscheiden. Folglich existiert er nicht. Auch Beispiel 5.2e deutet das an.

Anmerkungen

Für die Präsentation dieser Lösung habe ich alle Punkte bekommen. Es sollte also passen. Wenn man ähnliche Beispiele oder den Bearbeitungsverlauf ansieht, gibt's immer wieder Diskussionen über die Fallunterscheidungen. Die Tutorin habe ich explizit noch nach der Fallunterscheidung gefragt und sie meinte, die soll schon auf x basieren und nicht auf t.