TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 116

Man bestimme die Bogenlänge der folgenden Kurve:

$c(t)=\left(\begin{array}{c}co{s}^{3}t\\ si{n}^{3}t\end{array}\right),0\le t\le 2\pi$

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Hilfreiches

Kurvenintegral

Kurvenintegral

Kurvenintegral einer Funktion $f:{ℝ}^n\to ℝ$ entlang einer Kurve $k:[a,b]\to {ℝ}^n$:

$\underset{K}{\int }fds={\int }_a^{b}f(k(t))\cdot ||k^{\prime }(t)||dt$

Lösungsvorschlag von Wolf-Gang

Hapis Ansatz ist meiner Meinung nach falsch, da für die Bogenlänge ja die Länge der Ableitung der Funktion integriert wird:

$L={\int }_a^b||c^{\prime }(t)||dt={\int }_a^b\sqrt{c{\text{'}}_1(t{)}^2+\dots +c{\text{'}}_n(t{)}^2}dt$

Differenzieren unserer Angabe ergibt:

$c_{1^{\prime }}(t)=-3co{s}^2(t)\cdot sin(t)$

$c_{2^{\prime }}(t)=3si{n}^2(t)\cdot cos(t)$

Eingesetzt in die obige Formel ergibt dies

${\int }_0^{2\pi }\sqrt{(-3co{s}^2(t)sin(t){)}^2+(3si{n}^2(t)cos(t){)}^2}dt$

Mit ein wenig Umformen und dem Wissen, dass $co{s}^2(x)+si{n}^2(x)=1$

${\int }_0^{2\pi }3|cos(t)sin(t)|dt$

3/2 herausheben: $\frac{3}{2}{\int }_0^{2\pi }2|cos(t)sin(t)|dt$

Summensatz $2sin(\alpha )cos(\alpha )=sin(2\alpha )$ anwenden und 2t substituieren

(hoffentlich die grenzen richtig substituiert)

$\frac{3}{4}{\int }_0^{\frac{2\pi }{2}}|sin(u)|du$

(Und jetzt wirds spannend: Es macht einen wesentlichen Unterschied, dass wir hier über den Betrag des Sinus integrieren! Aufgezeichnet sieht das ja so aus, dass die negativen Teile des Sinus einfach nach oben ins Positive geklappt werden. Man überlegt sich leicht, dass

${\int }_0^{2\pi }|sin(2t)|dt=4\cdot {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}sin(2t)dt$

gilt. Damit sind wir die lästigen Betragsstriche los und können einfach drauf los integrieren.)

Nicht mehr notwendig da durch das substituieren der Sinus sowieso nur im positiven Bereich läuft.

$\frac{3}{4}{\int }_0^{pi}|sin(u)|du=\frac{3}{4}\ast (|-cos(u)|{\mid }_0^{\pi })=\frac{3}{4}\ast (|-cos(\pi )|+|-cos(0)|)=\frac{3}{2}$

Anmerkung:

mMn kleine Fehler: Richtig substituiert ist Obergrenze = u = 2*t = 4pi, hab dann auch aus dem Betrag des sinx einen normalen von 0 bis pi/2 (wie du) gemacht aber mit 8 multipliziert und integriert. Ergebnis = 6. Gruß aknoxx

Ich komm mit Substitution f. best. Integrale auch auf die substituierten Grenzen 0 bis 4 $\pi$ wie aknoxx (die Ausbesserung beim Substituieren stammt nicht von mir). Allerdings versteh ich nicht, wieso du, um den Betrag zu eliminieren, nur bis $\frac{\pi }{2}$ integrierst? Nicht, dass es falsch wäre - mit 4 multipliziert und bis $\pi$ integriert kommt mir auch 6 raus - aber umständlich ;) Wolf-Gang

Anmerkung:

Mein erster Ansatz war grundfalsch (und daher gelöscht), aber in der Übung bei Prof Urbanek wurde das Beispiel fast genau so wie von Wolf-Gang gerechnet. Ab diesem Punkt aber liefs etwas anders und ohne fehleranfällige Substitution:

$\frac{3}{2}{\int }_0^{2\pi }|sin(2t)|dt=\frac{3\ast 4}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}|sin(2t)|dt=6\ast {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}|sin(2t)|dt$

Das Integral lautet dann: $6\ast |-\frac{cos(2t)}{2}|$ im Bereich von $\frac{\pi }{2}$ bis $0$

gibt dann 6*(1/2+1/2) = 6 (da Cosinus von $\pi$ und 0 jeweils 1 sind)

Die urprüngliche Lösung gab nur 1 von 4 Sinusschwingungen als Ergebnis.

Hapi