TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 148

Man überprüfe, ob das Vektorfeld ${\vec {f}}=(yz,(x-2y)z,(x-y)y)$ eine Stammfunktion besitzt. Wenn ja, gebe man alle Stammfunktionen an.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösungsvorschlag von mnemetz

Vorarbeit: Überprüfung der Integrabilitätsbedingung

Ausgehend von ${\vec {f}}={\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}yz\\(x-2y)z\\(x-y)y\end{pmatrix}}$ prüfen wir, ob die Integrabilitätsbedingung zutrifft (ob ein Gradientenfeld existiert)

• ${\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}={\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}\qquad \Rightarrow \qquad z=z\qquad \surd$
• ${\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}={\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\qquad \Rightarrow \qquad y=y\qquad \surd$
• ${\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}={\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}\qquad \Rightarrow \qquad x-2y=x-2y\qquad \surd$

Berechnung der Stammfunktion

Integration von $F_{x}$ nach $x$

• $\int F_{x}\,dx=\int yz\,dx=xyz+c(y,z)$

Dabei ist $c(y,z)$ eine von y und z abhängige Integrationskonstante.

Einbeziehung von $F_{y}$

$(xyz+c(y,z)){\frac {\partial }{\partial y}}=F_{y}$

$xz+c'(y,z)=(x-2y)z$

$c'(y,z)=-2yz$

$c(y,z)=\int -2yz\,dy=-y^{2}z+d(z)$

Einbeziehung von $F_{z}$, Ergebnis

nun ist $F(x,y,z)=xyz-y^{2}z+d(z)$

$(xyz-y^{2}z+d(z)){\frac {\partial }{\partial z}}=F_{z}$

$xy-y^{2}+d'(z)=xy-y^{2}$

$d'(z)=0$

$d(z)=\int 0\,dz=0+C$

$F(x,y,z)=xyz-y^{2}z+C$

Das ist dann auch das Ergebnis, $C$ ist nun eine echte unabhängige Integrationskonstante!

(Probe mit partiell Ableiten - OK $\surd$)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 11:26, 11. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 59 / SS07 Beispiel 121