TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 400

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

$y^{\prime }+\frac{1}{1-x}y=x^2,y(0)=1$

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Lösungsvorschlag von Daydreams

Lösung der homogenen Gleichung

$y^{\prime }+\frac{1}{1-x}y=0$

$y^{\prime }=-\frac{1}{1-x}y$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1-x}y$

$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x-1}$

$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x-1}$

Nebenrechnung:

$\int \frac{dx}{x-1}dx$

$t=x-1$

$\int \frac{1}{t}dt=ln|t|+C=ln|x-1|+C$

$ln|y|=ln|x-1|$

$y=e^C\ast (x-1)$

$y_h(x)=C\ast (x-1)$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_p(x)=C(x)\ast (x-1)$

$y{\text{'}}_p(x)=C^{\prime }(x)\ast (x-1)+C(x)$

Einsetzen:

$C^{\prime }(x)\ast (x-1)+C(x)+\frac{1}{1-x}\ast C(x)\ast (x-1)=x^2$

$C^{\prime }(x)\ast (x-1)+C(x)+\frac{C(x)\ast (1-x)+C(x)\ast x-C(x)}{1-x}=x^2$

$C^{\prime }(x)\ast (x-1)+C(x)+\frac{C(x)-C(x)\ast x+C(x)\ast x-C(x)}{1-x}=x^2$

$C^{\prime }(x)\ast (x-1)=x^2$

$C^{\prime }(x)=\frac{x^2}{x-1}$

$C(x)=\int \frac{x^2}{x-1}dx$

Nebenrechnung:

$\int \frac{x^2}{x-1}dx$

Polynomdivision:

$x^2/(x-1)=x+1+\frac{1}{x-1}$

$\int x+1+\frac{1}{x-1}dx$

$\int xdx+\int 1dx+\int \frac{1}{x-1}dx=\frac{x^2}{2}+x+ln|x-1|+C$

$C(x)=\frac{x^2}{2}+x+ln|x-1|$

In y_p(x) einsetzen:

$y_p(x)=(\frac{x^2}{2}+x+ln|x-1|)\ast (x-1)$

$y_p(x)=\frac{x^3}{2}+x^2+x\ast ln|x-1|-\frac{x^2}{2}-x-ln|x-1|$

$y_p(x)=\frac{x\ast (x^2+2x+2ln|x-1|)-x^2-2x-2ln|x-1|}{2}$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=C\ast (x-1)+\frac{x\ast (x^2+2x+2ln|x-1|)-x^2-2x-2ln|x-1|}{2}$

Einsetzen von $y(0)=1:$

$1=C\ast (0-1)+\frac{0\ast (0^2+2\ast 0+2ln|0-1|)-0^2-2\ast 0-2ln|0-1|}{2}$

$1=-C+\frac{0}{2}=-C$

Dann erhält man:

$C=-1$

Die spezifische Lösung lautet also:

$y=(-x+1)+\frac{x\ast (x^2+2x+2ln|x-1|)-x^2-2x-2ln|x-1|}{2}$

Websites

Informatikforum

• f.thread:45202
• f.thread:44661
• f.thread:73568 SS09

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 135 / SS07 Beispiel 197