TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 39

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Man berechne:

$\int {\frac {e^{x}}{e^{2x}-e^{x}-6}}\cdot dx$

Lösungsvorschlag

$\int {\frac {e^{x}}{e^{2x}-e^{x}-6}}\cdot dx=$

Integration durch Subtitution:

$t=e^{x}\Rightarrow {\frac {t}{t^{2}-t-6}}\Rightarrow {\frac {dt}{dx}}=(e^{x})'\Rightarrow {\frac {dt}{e^{x}}}=dx={\frac {dt}{t}}$ $=\int {\frac {t}{t^{2}-t-6}}\cdot {\frac {dt}{t}}$

Partialbruchzerlegung:

$t_{1,2}=-{\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {1}{2}})^{2}+6}}\Rightarrow t_{1}=2\ t_{2}=-3$

$\Rightarrow {\frac {1}{t^{2}-t-6}}={\frac {A}{(t+2)}}+{\frac {B}{(t-3)}}\Rightarrow A(t-3)+B(t+2)=1$

t=3:

$1=5B\Rightarrow B={\frac {1}{5}}$

t=-2:

$1=-5A\Rightarrow A=-{\frac {1}{5}}$ $\Rightarrow {\frac {1}{5}}(\int {\frac {1}{(t-3)}}dt-\int {\frac {1}{(t+2)}}dt)={\frac {1}{5}}(ln|e^{x}-3|-ln|e^{x}+2|+c)$

Anmerkungen

Ich weiß leider nicht ob das stimmt, aber es kommen ziemlich schöne Zahlen bei der pq-Formel heraus.

Also das Ergebnis stimmt schon (siehe https://web.archive.org/web/20180817164507/http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/)

Rechenweg-Fehler

bei der quadratischen Formel gehört x1,2 = -p/2 +- sqrt(p²/4 - q) du hast das - ignoriert. bei den nullstellen gehört (x-x1)*(x-x2) und nicht +. Trotzdem bemerkenswert dass sich beide Fehler so aufheben dass das Ergebnis wieder stimmt.

Links

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