TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS08/Beispiel 52

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 232. Vergleich

Man berechne: $\int {\frac {(e^{x}-1)}{(e^{2x}+1)}}dx$

Lösungshinweis

lt. Prof Gittenberger: Substitution und Partialbruchzerlegung helfen hier weiter.

Lösungsvorschlag

Substitution:

$e^{x}=u;dx*e^{x}=du;dx={\frac {du}{u}}$

Partialbruchzerlegung:

${\frac {u-1}{u(u^{2}+1)}}={\frac {Au+B}{u^{2}+1}}+{\frac {C}{u}}\quad |\cdot u(u^{2}+1)$

$u-1=(Au+B)u+C(u^{2}+1)=Au^{2}+Bu+C(u^{2}+1)$

$u-1=1u^{2}+1u+(-1)(u^{2}+1)$

$A=B=1\qquad C=-1$

${\frac {Au+B}{u^{2}+1}}+{\frac {C}{u}}={\frac {u+1}{u^{2}+1}}-{\frac {1}{u}}={\frac {u}{u^{2}+1}}+{\frac {1}{u^{2}+1}}-{\frac {1}{u}}$

$\int ({\frac {u}{u^{2}+1}}+{\frac {1}{u^{2}+1}}-{\frac {1}{u}})du$

Integrieren:

$\int {\frac {u\,du}{u^{2}+1}}+\int {\frac {du}{u^{2}+1}}-\int {\frac {du}{u}}$

$\int {\frac {u\,du}{u^{2}+1}}\quad :\qquad v:=u^{2}+1;\quad dv=u\quad :\qquad \int {\frac {dv}{v}}=\ln v\quad :\qquad \int {\frac {u\,du}{u^{2}+1}}=\ln(u^{2}+1)$

$\int {\frac {du}{u^{2}+1}}=\arctan(u)$

$\int {\frac {du}{u}}=\ln u$

$\int {\frac {u\,du}{u^{2}+1}}+\int {\frac {du}{u^{2}+1}}-\int {\frac {du}{u}}=\ln(u^{2}+1)+\arctan u-\ln u$

Rücksubstitution:

$=\ln(1+e^{2x})+\arctan e^{x}-\ln e^{x}$

Kommentare

Die Lösung ist fast richtig, laut Mathematica kommt allerdings 1/2ln!

--62.178.91.183 19:34, 17. Mär. 2009 (CET) da beim 2. mal substituieren:

$\int {\frac {u\,du}{u^{2}+1}}\quad :\qquad v:=u^{2}+1;\quad dv=2u\,du\quad :\qquad {\frac {1}{2}}\int {\frac {dv}{v}}={\frac {1}{2}}\ln v\quad :\qquad {\frac {1}{2}}\int {\frac {u\,du}{u^{2}+1}}={\frac {1}{2}}\ln(u^{2}+1)$

ist die richtige lösung:

${\frac {1}{2}}\ln(1+e^{2x})+\arctan e^{x}-x$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum SS07 Beispiel 48

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