Berechnen Sie mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatoren den maximalen Wert von x−3y{\displaystyle x-3y} unter der Nebenbedingung x2−y=0{\displaystyle x^{2}-y=0}
F(x,y,λ)=x−3y−λ∗(x2−y){\displaystyle F(x,y,\lambda )=x-3y-\lambda *(x^{2}-y)}
F(x,y,λ)=x−3y−λx2+λy{\displaystyle F(x,y,\lambda )=x-3y-\lambda x^{2}+\lambda y}
Partielle Ableitungen:
Fx=1−2λx{\displaystyle F_{x}=1-2\lambda x}
Fy=−3+λ{\displaystyle F_{y}=-3+\lambda }
Null setzen für Extremwerte:
−3+λ=0→λ=3{\displaystyle -3+\lambda =0\rightarrow \lambda =3}
1−2λx=0→x=16{\displaystyle 1-2\lambda x=0\rightarrow x={\frac {1}{6}}}
x2−y=0→(−16)2−y→y=136{\displaystyle x^{2}-y=0\rightarrow (-{\frac {1}{6}})^{2}-y\rightarrow y={\frac {1}{36}}}
(16,136){\displaystyle ({\frac {1}{6}},{\frac {1}{36}})} ist Extremum!
unter der Nebenbedingung 
ist Extremum!