TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS11/Beispiel 25
Für die Funktion berechnen Sie . Ist stetig bzw. differenzierbar?
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es gibt zwei Fälle, die getrennt betrachtet werden müssen, nämlich und .
Für gilt .
Im Fall gilt .
Überprüfung der Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Beide Teile der Funktion sind stetig, der einzige Punkt, der unstetig sein könnte ist bei . Stimmen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an dieser Stelle überein, ist die Funktion stetig.
Die Grenzwerte stimmen überein, demnach ist die Funktion stetig.
Überprüfung der Differenzierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Funktion ist genau dann differenzierbar in einem Punkt , wenn existiert.
In diesem Fall ist nur der Punkt von Bedeutung, da sowohl der Funktionszweig links von 1 als auch der Funktionszweig rechts von 1 differenzierbar sind.
Der Grenzwert existiert, stimmt aber für die beiden Äste der Funktion nicht überein.
Für :
Für :
Alternative Argumentation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Um sich die Differenzengleichung zu ersparen:
Schon aus der Angabe ist ablesbar, daß
Da die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an der Stelle nicht übereinstimmen, springt an dieser Stelle und ist daher nicht differenzierbar.