TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 23

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Berechnen Sie $\int _{1}^{2}x^{2}\,dx$ mit Hilfe von Obersummen bei äquidistanter Teilung.

Lösungsvorschlag

Vorbereitung

Riemannsches Integral:

$A=\int _{a}^{b}f=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}\Delta x\cdot f(k\cdot \Delta x+a)$

$\Delta x={\frac {b-a}{n}}$

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$

${\begin{aligned}\int _{1}^{2}x^{2}\,dx&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n}({\frac {k}{n}}+1)^{2}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n}({\frac {k^{2}}{n^{2}}}+{\frac {2k}{n}}+1)\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)(14n+1)}{6n^{2}}}\\&={\frac {7}{3}}\end{aligned}}$

Rechenweg

${\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {k^{2}}{n^{2}}}+{\frac {2k}{n}}+1={\frac {1}{n}}{\Bigl (}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=0}^{n}k^{2}+{\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n}k+n+1{\Bigr )}$

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${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k^{2}&={\frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}={\frac {(n^{2}+3n+2)(2n+3)}{6}}\\&={\frac {2n^{3}+3n^{2}+6n^{2}+9n+4n+6}{6}}={\frac {2n^{3}+9n^{2}+13n+6}{6}}\end{aligned}}$

${\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n+1}k^{2}={\frac {2n^{3}+9n^{2}+13n+6}{6}}=a$

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$\sum _{k=1}^{n+1}k={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}={\frac {(n^{2}+3n+2)}{2}}$

${\frac {2}{n}}\sum _{k=1}^{n+1}k={\frac {(n^{2}+3n+2)}{n}}=b$

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${\begin{aligned}{\frac {1}{n}}(a+b)&={\frac {1}{n}}{\Bigl (}{\frac {2n^{3}+9n^{2}+13n+6+(6n(n^{2}+3n+2))}{6n^{2}}}{\Bigr )}\\&={\frac {8n^{3}+27n^{2}+25n+6}{6n^{3}}}\\&={\frac {14n^{3}+33n^{2}+25n+6}{6n^{3}}}\Rightarrow f(n)\end{aligned}}$

das n+1 ist einfach nur durch erweitern der brüche in eine andere form gebracht, so dass man es addieren kann

$\lim _{n\to \infty }f(n)={\frac {14}{6}}={\frac {7}{3}}$

Anmerkungen

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