TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 23

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Berechnen Sie ${\int }_1^2{x}^{2}dx$ mit Hilfe von Obersummen bei äquidistanter Teilung.

Lösungsvorschlag

Vorbereitung

Riemannsches Integral:

$A={\int }_a^{b}f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\Delta x\cdot f(k\cdot \Delta x+a)$

$\Delta x=\frac{b-a}{n}$

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\begin{array}{cc}{\int }_1^2{x}^{2}dx& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=0}^n(\frac{k}{n}+1{)}^2\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=0}^n(\frac{k^2}{n^2}+\frac{2k}{n}+1)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(n+1)(14n+1)}{6n^2}\\ & =\frac{7}{3}\end{array}$

Rechenweg

$\frac{1}{n}\sum _{k=0}^n\frac{k^2}{n^2}+\frac{2k}{n}+1=\frac{1}{n}(\frac{1}{n^2}\sum _{k=0}^n{k}^2+\frac{2}{n}\sum _{k=0}^{n}k+n+1)$

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$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2& =\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=\frac{(n^2+3n+2)(2n+3)}{6}\\ & =\frac{2n^3+3n^2+6n^2+9n+4n+6}{6}=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\end{array}$

$\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}=a$

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$\sum _{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n^2+3n+2)}{2}$

$\frac{2}{n}\sum _{k=1}^{n+1}k=\frac{(n^2+3n+2)}{n}=b$

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$\begin{array}{cc}\frac{1}{n}(a+b)& =\frac{1}{n}\left(\frac{2n^3+9n^2+13n+6+(6n(n^2+3n+2))}{6n^2}\right)\\ & =\frac{8n^3+27n^2+25n+6}{6n^3}\\ & =\frac{14n^3+33n^2+25n+6}{6n^3}\Rightarrow f(n)\end{array}$

das n+1 ist einfach nur durch erweitern der brüche in eine andere form gebracht, so dass man es addieren kann

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(n)=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$

Anmerkungen

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