TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 132

Parametrisieren Sie folgende Kurve nach der Bogenlänge:

$x(t)={{\tfrac {4}{3}}(t+1)^{3/2} \choose t^{2}/2},\quad t\geq 0$.

Hilfreiches

Bogenlänge

Bogenlänge

Bogenlänge einer ebenen Kurve: $s=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx$

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Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung: ${\vec {x}}(t)=\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)$
$s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}dt$

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Bogenlänge einer Raumkurve: $s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}dt$

Lösungsvorschlag neu aus mmvc SS20

$x(t)={{\tfrac {4}{3}}(t+1)^{3/2} \choose t^{2}/2},\quad t\geq 0$
Die allgemeine Formel für die Bogenlänge lautet $s=\int _{a}^{b}{||c'(t)||dt}$
Parametrisierung nach der Bogenlänge bedeutet, dass bei einer Kurve $c(t)$ für alle Parameterwerte $||c'(t)||=1$ gilt. Die Kurve ist dann nach der Bogenlänge parametrisiert.

Eine Sonderform der allgemeinen Bogenlängenformel, $s=\int _{a}^{b}{{\sqrt {1+(c'(t))^{2}}}dt}$, die häufig verwendet wird, kann hier nicht verwendet werden. Sie wird nur im Spezialfall verwendet, wenn man für eine "herkömmliche" Funktion $f(t)$ die Bogenlänge im Intervall $[a,b]$ berechnen möchte, und dafür letztendlich ${\vec {c}}(t)=\left({\begin{array}{c}t\\f(t)\end{array}}\right)$ annimmt.

Allgemein wird so oder so die Formel für die sogenannte Euklidische Norm verwendet, nämlich $||c(t)||={\sqrt {a^{2}+b^{2}+...+n^{2}}}$ für $c(t)=\left({\begin{array}{c}a(t)\\b(t)\\...\\n(t)\end{array}}\right)$.

Soviel zum nötigen Vorwissen, welches wir nun für die eigentliche Aufgabe verwenden können:

Zuerst leiten wir die Stammfunktion ab: $x'(t)=\left({\begin{array}{c}{\tfrac {3}{2}}{\tfrac {4}{3}}(t+1)^{\tfrac {1}{2}}\\{\tfrac {2t}{2}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}2{\sqrt {t+1}}\\t\end{array}}\right)$

Als nächstes setzen wir diese Ableitung in die Formel für die Euklidische Norm ein und erhalten: $||x'(t)||={\sqrt {(2{\sqrt {t+1}})^{2}+t^{2}}}={\sqrt {4(t+1)+t^{2}}}={\sqrt {4+4t+t^{2}}}$ und erkennen dass es sich hierbei um eine binomische Formel handelt und wir sie nach $||x'(t)||={\sqrt {(2+t)^{2}}}$ und damit $||x'(t)||=2+t$ umformen können.

Das erleichtert die restliche Aufgabe enorm, denn jetzt benötigt man für das Ausrechnen des Integrals weder eine Substitution noch sonstige Kopfschmerzen:
$s(t)=\left.\int _{0}^{t}{2+t\ dt}=2t+{\tfrac {t^{2}}{2}}\right|_{0}^{t}=2t+{\tfrac {t^{2}}{2}}$ und wir sind fertig. Für die untere Grenze wurde 0 eingesetzt, da in der Angabe so gegeben, für die obere wird bei der Parametrisierung nach Bogenlänge der Parameter t selbst genommen.

Lösungsvorschlag

(Ich, der den Lösungsvorschlag von mmvc SS20 verfasst hat, denke dass dieser Lösungsvorschlag komplett falsch ist).

lt. Prof Urbanek (under construction)
Anmerkung superphil0: ACHTUNG falsch abgeleitet: richtig (2*(t+1)^1/2) + t Anmerkung phpwutz(): Wolfram Alpha sagt: 2* wurzel(t+1)
Parametrisieren meint hier, die Funktion abhängig von der Bogenlänge auszudrücken (also $f(s)=\ldots$):

Bogenlänge $s=\int {\sqrt {\left({\tfrac {4}{3}}(t+1)^{3/2}\right)'^{2}+\left(t^{2}/2\right)'^{2}}}=$

Mit der Angabe "$t\geq 0$" ist nur die untere Integrationsgrenze definiert. Falls wir bis $\infty$ integrieren würden, wäre die Bogenlänge natürlich auch $\infty$; daher "erfinden" wir zunächst eine willkürliche obere Grenze $u$:

$=\int _{0}^{u}{\sqrt {(t^{2})+(2t+1)}}dt$ $=\int _{0}^{u}{\sqrt {(t+1)^{2}}}dt=$

$=\left.{\frac {t^{2}}{2}}+t\right|_{0}^{u}$

Grenzen einsetzen:

$s={\frac {u^{2}}{2}}+u$

$u^{2}+2u-2s=0$

Kleine Lösungsformel

Kleine Lösungsformel

$x^{2}+px+q=0\quad \Longrightarrow \quad x_{1,2}=-{\tfrac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\tfrac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$

$u=-{\frac {2}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {4}{4}}+2s}}$

$u=-1\pm {\sqrt {1+2s}}$

(Die negative Wurzel kann man gleich wieder vergessen, da $(-1)-{\sqrt {\ldots }}\;<0$, und somit sicher nicht im geforderten Wertebereich liegt.)

Damit haben wir das oben eingeführte $u$ als Funktion von $s$ ausgedrückt, und können insgesamt schreiben:

Links

• Diskussion im Informatik-Forum (Montag)
• Diskussion im Informatik-Forum (Donnerstag)
• Diskussion im Informatik-Forum (WS07 Beispiel 178)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 131 (ähnliches Beispiel)