Angabe

Man bestimme die erzeugende Funktion der Folge $(a_{n})_{n \geq 0}$ :

$a_{n} = n^{2} + 2^{n}$

Lösung

Bin mir nicht ganz sicher ob das so einfach geht..aber ich komm auf folgendes:

Die erzeugende Funktion ist definiert als $A (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$

Die Angabe mit $z^{n}$ erweitern ergibt:

$a_{n} z^{n} = n^{2} * z^{n} + 2^{n} z^{n}$

Aufsummiern:

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} n^{2} z^{n} + \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} z^{n}$

Auf wikipedia habe ich dann ein paar Identitäten gefunden:

Also setze ich die einfach ein und erhalte: $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n} = \frac{z (1 + z)}{(1 - z)^{3}} + \frac{1}{1 - 2 z}$ Oder:

$A (z) = \frac{z (1 + z)}{(1 - z)^{3}} + \frac{1}{1 - 2 z}$

Achtung, diese Lösung ist leider nicht ganz richtig wie sich in der Übung herausstellte..