TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 405

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) $\ y''-6y'-27y=0$

(b) $\ y''+6y'+9y=0$

(c) $\ y''-6y'+25y=0$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

von ichchefdunix:

(a) : Aufstellen der charakteristischen Gleichung: $\ \lambda ^{2}-6\lambda -27=0$

Dann lösen durch Lösungsformel(hier erhält man 2 versch. reelle Werte): $\ \lambda _{1}=9,\lambda _{2}=-3$

$\Rightarrow$ $\ y_{h}(x)=C_{1}e^{9x}+C_{2}e^{-3x}$ mit $C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

(b) : Aufstellen der charakteristischen Gleichung: $\ \lambda ^{2}+6\lambda +9=0$

Hier erhält man eine doppelt zu zählende Lösung(im reellen): $\lambda _{1}=\lambda _{2}=-3$

$\Rightarrow$ $\ y_{h}(x)=(C_{1}+C_{2}n)e^{-3x}$ mit $C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

(c) : Aufstellen der charakteristischen Gleichung: $\ \lambda ^{2}-6\lambda +25=0$

Hier erhält man(wiederum durch lösen mit Lösungsformel) komplexe Zahlen: $\ \lambda _{1,2}=3\pm 4i$

$\Rightarrow$ $\ y_{h}(x)=e^{3x}(C_{1}cos(4x)+C_{2}sin(4x))$ mit $C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

Anm.: Auf die endgültige Lösung der homogenen Differentialgleichung erhält man mehr oder weniger durch "einsetzen" in die "Formeln" im mathe-Buch (s. 297), Satz 7.35