TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 264

Man berechne

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot e^{-x^2}dx$

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Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösungsvorschlag von mnemetz

Siehe Lösung aus SS06 SS07 Beispiel 31

Lösungsvorschlag von Baccus

Substitution:

$u=-x^2⟹du=-2xdx⟹dx=-\frac{du}{2x}$

Integral ist uneigentlich (2. Art) (Skriptum M1/SS05, S.75):

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{a}x\cdot e^u\cdot -\frac{1}{2x}du=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^a-\frac{x\cdot e^u}{2\cdot x}du=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}-\frac{1}{2}{\int }_0^a{e}^{u}du=$

Resubstitution:

$=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}{(-\frac{e^{-x^2}}{2})|}_0^a=$

Grenzen einsetzen:

$=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\frac{e^{-a^2}}{2}+\frac{e^0}{2})=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{e^{a^x}}}{2})=\frac{1}{2}-0$

--Baccus 01:56, 28. Mär 2007 (CEST)

Lösung lt. Prof Urbanek

Das uneigentliche Integral hat die Bauart $\int u^{\prime }.e^u$ und wäre somit ein Fall für die Substitution.

u = -x² und u' ist -2x. Das Integral hat dann die Form $-\frac{1}{2}\int 2x.e^{x^2}dx$

$=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}{(-\frac{e^{-x^2}}{2})|}_0^a=$ $\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}{(-\frac{1}{2.e^{x^2}})|}_0^a$

ausgewertet an den Grenzen $-\frac{1}{2\ast \mathrm{\infty }}-\frac{-1}{2}=-0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

da $e^0=1$ und $e^{\mathrm{\infty }}\to \mathrm{\infty }$

Ergebnis wie oben.

Hapi

Links

• Diskussion Informatik Forum SS07 Beispiel 31 (alt)
• Diskussion Informatik Forum SS08 Beispiel35