TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 280

Bestimmen Sie den Wert der folgenden Integrale näherungsweise auf 3 Dezimalstellen (ohne und mit Computer).
$\int _{0}^{1}{\frac {sin(u^{2})}{u}}du$
Hinweis: Entwickeln sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviel Terme sind nötig, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen?

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

SS 08 Beispiel 57[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösungsvorschlag von Oliver[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Entwickeln der Taylorreihe von $sin(x)$ als Grundlage:

$f(x)=sin(x)$
$f(0)=0$
$f'(x)=cos(x)$
$f'(0)=1$
$f''(x)=-sin(x)$
$f''(0)=0$
$f'''(x)=-cos(x)$
$f'''(0)=-1$
$f''''(x)=sin(x)$ ab hier wiederholt sich das Ganze wieder
$f''''(0)=0$

ergibt von der Stelle 0 weg:

$sin(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}(x-0)+{\frac {f''(0)}{2!}}(x-0)^{2}+{\frac {f'''(0)}{3!}}(x-0)^{3}+...=$

$sin(x)=0+{\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-+...=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

Einsetzen der ursprünglichen Angabe in die Taylorreihenentwicklung vom sinus ergibt:

${\frac {sin(u^{2})}{u}}={\frac {u}{1!}}-{\frac {u^{5}}{3!}}+{\frac {u^{9}}{5!}}-{\frac {u^{13}}{7!}}+...$

jetzt kann man die einzelnen Terme getrennt integrieren:

1. Term: $\int _{0}^{1}{{\frac {u}{1!}}du}={\frac {1}{2}}=0.5$

2. Term: $\int _{0}^{1}{-{\frac {u^{5}}{3!}}du}=-{\frac {1}{36}}=-0.0277777$

3. Term: $\int _{0}^{1}{{\frac {u^{9}}{5!}}du}={\frac {1}{1200}}=0.000833$

4. Term: $\int _{0}^{1}{-{\frac {u^{13}}{7!}}du}=-{\frac {1}{70560}}=-0.000014$ (vernachlässigbar)

$\int _{0}^{1}{({\frac {u}{1!}}-{\frac {u^{5}}{3!}})du=0.472222}\approx 0.472$ Diese Näherung ist auf 3 Dezimalstellen noch nicht ausreichend genau.

Näherung für 3 Dezimalstellen Genauigkeit reicht in dem Fall mit 3 Taylor-Polynome:

$\int _{0}^{1}{({\frac {u}{1!}}-{\frac {u^{5}}{3!}}+{\frac {u^{9}}{5!}})du=0.473056}\approx 0.473$

Vergleich mit genauerer Näherung:

$\int _{0}^{1}{({\frac {u}{1!}}-{\frac {u^{5}}{3!}}+{\frac {u^{9}}{5!}}-{\frac {u^{13}}{7!}})du=0.473041}\approx 0.473$

Lösung mittels TI Voyage 200:

$\int _{0}^{1}{\frac {sin(u^{2})}{u}}du=0.473042$

-> obige Lösung ist daher mit 3 Termen ausreichend.

Lösung SS08[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

lt Prof Urbanek

Die Taylorreihe für $sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}...$

x wird dann durch u² ersetzt und die Reihe sieht dann wie folgt aus:

${\frac {sin(u^{2})}{u}}={\frac {u^{2}-{\frac {u^{6}}{3!}}+{\frac {u^{10}}{5!}}-{\frac {u^{14}}{7!}}+{\frac {u^{18}}{9!}}...}{u}}=u-{\frac {u^{5}}{3!}}+{\frac {u^{9}}{5!}}-{\frac {u^{13}}{7!}}+{\frac {u^{17}}{9!}}...$

Die einzelnen Terme sind dann nacheinander wie folgt zu integrieren:

${\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {u^{6}}{6*3!}}+{\frac {u^{10}}{10*5!}}-{\frac {u^{14}}{14*7!}}+{\frac {u^{18}}{18*9!}}...$

ausgewertet bei 0 sind alle Terme 0, bei 1 ausgewertet sind sie

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6*3!}}+{\frac {1}{10*5!}}-{\frac {1}{14*7!}}+{\frac {1}{18*9!}}...$

Die ersten 3 Terme ergeben 0,473, nun müßte noch der Fehler abgeschätzt werden.

Der Wert konvergiert zwischen ${\frac {1}{2}}$ und ${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6*3!}}$

bzw. der Fehler zwischen ${\frac {1}{14*7!}}$ und ${\frac {1}{14*7!}}-{\frac {1}{18*9!}}$ ist kleiner als 0,00014, somit paßt 0,473 und 3 Terme reichen.