TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 347

Gegeben sei die quadratische Form $q({\vec {x}})=q(x,y)=4x^{2}+2bxy+25y^{2},b\in R$. 1) Wie lautet die zugehörige symetrische Matrix A, sodass $q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}$ ?

2) Für welche Werte von b ist die Form positiv definit?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsversuch Me.Name

gleich mal vorab: so ganz sicher bin ich mir dabei nicht.

Im orangen Folterbuch findet man hierzu etwas im Kapitel 6.1 Funktionen in mehreren Variablen und das Beispiel 6.1f ist in etwa die Angabe.

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1)

$q(x,y)=(x,y)*{\begin{array}{cc}&\left({\begin{array}{cc}?&?\\?&?\\\end{array}}\right)\end{array}}*{\begin{array}{cc}&\left({\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}}\right)\end{array}}=4x^{2}+2bxy+25y^{2}$

=> die Matix kann nur so: ${\begin{array}{cc}&\left({\begin{array}{cc}4&b\\b&25\\\end{array}}\right)\end{array}}$ aussehen.

$(x,y)*{\begin{array}{cc}&\left({\begin{array}{cc}4&b\\b&25\\\end{array}}\right)\end{array}}*{\begin{array}{cc}&\left({\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}}\right)\end{array}}={\begin{array}{cc}&\left({\begin{array}{cc}4x&bx\\by&25y\\\end{array}}\right)\end{array}}*{\begin{array}{cc}&\left({\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}}\right)\end{array}}=4x^{2}+bxy+byx+25y^{2}=4x^{2}+2bxy+25y^{2}$

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2)

Eine Matrix ist positiv definit wenn alle Hauptminoren positiv sind. auf deutsch: Eine Matrix ist positiv definit wenn die einzelen Determinanten positiv sind. (auch nicht so wirklich verständlicher)

1. Minor der Matrix ist $M_{1}=|4|=4$ => positiv

2. Minor der Matrix ist $M_{2}={\begin{array}{cc}&\left|{\begin{array}{cc}4&b\\b&25\\\end{array}}\right|\end{array}}=(4*25)-(b*b)>0$

$b^{2}<100\Rightarrow |b|<10$

Demzufolge ist die Matrix genau dann positiv definit, wenn b strikt zwischen -10 und 10 ist.

Tipp von Benutzer:Simplex 02:24, 15. Jun. 2022 (CEST)

Hilfreiches Video zu Minorenkriterium und Teil 2 der Aufgabe - von MathePeter