TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 347

Gegeben sei die quadratische Form $q(\overrightarrow{x})=q(x,y)=4x^2+2bxy+25y^2,b\in R$. 1) Wie lautet die zugehörige symetrische Matrix A, sodass $q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}$ ?

2) Für welche Werte von b ist die Form positiv definit?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsversuch Me.Name

gleich mal vorab: so ganz sicher bin ich mir dabei nicht.

Im orangen Folterbuch findet man hierzu etwas im Kapitel 6.1 Funktionen in mehreren Variablen und das Beispiel 6.1f ist in etwa die Angabe.

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1)

$q(x,y)=(x,y)\ast \begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{cc}?& ?\\ ?& ?\end{array}\right)\end{array}\ast \begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\end{array}=4x^2+2bxy+25y^2$

=> die Matix kann nur so: $\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{cc}4& b\\ b& 25\end{array}\right)\end{array}$ aussehen.

$(x,y)\ast \begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{cc}4& b\\ b& 25\end{array}\right)\end{array}\ast \begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\end{array}=\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{cc}4x& bx\\ by& 25y\end{array}\right)\end{array}\ast \begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\end{array}=4x^2+bxy+byx+25y^2=4x^2+2bxy+25y^2$

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2)

Eine Matrix ist positiv definit wenn alle Hauptminoren positiv sind. auf deutsch: Eine Matrix ist positiv definit wenn die einzelen Determinanten positiv sind. (auch nicht so wirklich verständlicher)

1. Minor der Matrix ist $M_1=|4|=4$ => positiv

2. Minor der Matrix ist $M_2=\begin{array}{cc}& \left|\begin{array}{cc}4& b\\ b& 25\end{array}\right|\end{array}=(4\ast 25)-(b\ast b)>0$

$b^2<100\Rightarrow |b|<10$

Demzufolge ist die Matrix genau dann positiv definit, wenn b strikt zwischen -10 und 10 ist.

Tipp von Benutzer:Simplex 02:24, 15. Jun. 2022 (CEST)

Hilfreiches Video zu Minorenkriterium und Teil 2 der Aufgabe - von MathePeter