Man untersuche für beliebige
den Grenzwert
. Ist die Funktion
an
stetig?
![{\displaystyle f(x,y)={\frac {2y^{2}}{|x|+y^{2}}}\qquad \qquad {\text{fuer }}\,\,(x,y)\neq (0,0)\,\,{\text{ und }}\,\,f(0,0)=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b62caadd87c74795be10bfe8aeeee7c3&mode=mathml)
Dieses Beispiel ist als
solved markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details:
Vorlage:Beispiel)
Daher ist f stetig.
Edit von leiwand:
Prinzipiell bin ich Deiner Meinung, aber statt
muss oben
vorkommen. Tut der Lösung aber nicht weh.
Edit von lumpi:
Leider falsch da nicht stetig wegen Fall Alpha = 0 Beta != 0, bei dem als Grenzwert 2 rauskommt. Siehe untere Lösung.
Man muss drei Fälle unterscheiden:
![{\displaystyle \alpha =\beta =0\qquad f(\alpha t,\beta t)=f(0,0)=0\;(perDefinition)\qquad \Rightarrow \lim _{t\to 0}=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cfa35c7ac96a95d9e0a0b740dc2812f7&mode=mathml)
![{\displaystyle \alpha =0,\;\beta \neq 0\qquad f(\alpha t,\beta t)={\frac {2(\beta t)^{2}}{0+(\beta t)^{2}}}=2\qquad \qquad \qquad \qquad \Rightarrow \lim _{t\to 0}=2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=be97671918472263fe013ab28453d978&mode=mathml)
![{\displaystyle \alpha \neq 0,\;\beta \;beliebig\qquad f(\alpha t,\beta t)={\frac {2(\beta t)^{2}}{|\alpha t|+(\beta t)^{2}}}={\frac {2\beta ^{2}t}{|a|+\beta ^{2}t}}\qquad \Rightarrow \lim _{t\to 0}=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=11144b850149fa2cec4dae92aedd3d90&mode=mathml)
Anmerkung: letzte Umformung kann nicht stimmen weil
--kopa 17:19, 31. Okt 2007 (CET)
Letzte Umformung stimmt, da t zuerst im Nenner herausgehoben wird und anschließend gekürzt!
--*litschiiii* 12:21, 12. Apr 2011
Ergänzung lt. EIGENTHALER:
1.) ist lt. Eigenthaler eh nicht erlaubt, da x,y != 0 sein müssen (lt. angabe)
außerdem ist es wegen Grenzwert = 2 != f(x,y)=0 natürlich NICHT stetig. (Stetig heißt Grenzwert und Funktionswert an der Stelle gleich)