TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS11/Beispiel 188

Angabe

 Man bestimme denjenigen Punkt auf der Ebene $z=x+y$, der von dem Punkt(1,0,0) den kleisten euklidischen Abstand hat.

Allgemeines

 Länge zwischen 2 Punkten: ${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}$

Lösungsvorschlag von Me.Name

Zuerst mal die angabe verstehen: Es gibt eine Ebene welche definiert ist durch $z=x+y$ also einfach eine linear ansteigende Ebene. Von dieser sollen wir nun einen Vektor bestimmen der zum Punkt (1,0,0) zeigt, zusätzlich soll dieser Pfeil so kurz wie möglich sein.

d.h.: $f(x,y,z)={\sqrt {(x-1)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}}}=0\rightarrow f(x,y,z)=(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}$

Als Nebenbedingung haben wir:$g(x,y,z)=x+y-z=0$

Das setzen wir jetzt in die Lagrange Multiplikation ein:

$F(x,y,z,\lambda )=(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}-\lambda *(x+y-z)$

Ableitungen bilden:

1)$F_{x}(x,y,z,\lambda )=2(x-1)-\lambda =0\rightarrow x={\frac {\lambda +2}{2}}$

2)$F_{y}(x,y,z,\lambda )=2y-\lambda =0\rightarrow y={\frac {\lambda }{2}}$

3)$F_{z}(x,y,z,\lambda )=2z+\lambda =0\rightarrow z=-{\frac {\lambda }{2}}$

4)$F_{\lambda }(x,y,z,\lambda )=-x-y+z=0\rightarrow y={\frac {\lambda }{2}}$

1&2&3 in 4:

$-{\frac {\lambda +2}{2}}-{\frac {\lambda }{2}}-{\frac {\lambda }{2}}=0\rightarrow -3\lambda =2\rightarrow {\underline {\lambda =-{\frac {2}{3}}}}$

=> $x={\frac {2}{3}};y=-{\frac {1}{3}};z={\frac {1}{3}}$ und das ist jetzt der Punkt$({\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}})$ von wo aus unser gesuchter Abstand zu P(1,0,0) am geringsten ist.