TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS08/Beispiel 193

Zeigen Sie, daß das Kurvenintegral $\int _{C}y^{2}\;dx+2x\;dy)$ wegunabhängig ist und berechnen Sie es

von (1, 1) nach (3, 2);

a) entlang des Streckenzuges $(1,1)\rightarrow (3,1)\rightarrow (3,2)$;
b) entlang der Geraden, die die Punkte $(1,1)$ und $(3,2)$ verbindet.

Lösungsansatz von Sonni

• Integritätsbedingung:

Muss erfüllt sein, um überhaput wegunabhängig sein zu können:

${\frac {\delta y^{2}}{\delta y}}=2y$

${\frac {\delta 2xy}{\delta x}}=2y$

$2y=2y\rightarrow$ ist erfüllt

• mögliche Vektoren

${\vec {a}}_{(t)}={\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}},[1,3]$

${\vec {b}}_{(t)}={\begin{pmatrix}3\\t\end{pmatrix}},[1,2]$

${\vec {c}}_{(t)}={\begin{pmatrix}2t+1\\t+1\end{pmatrix}},[0,1]$

Streckenzug $(1,1)\rightarrow (3,1)\rightarrow (3,2)$ (Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$)

$\int {\vec {f}}({\vec {a}}_{(t)})*{\vec {a}}'_{(t)}dt+\int {\vec {f}}({\vec {b}}_{(t)})*{\vec {b}}'_{(t)}dt$

$=\int _{1}^{3}f_{1(t,1)}*a'_{1(t)}+f_{2(t,1)}*a'_{2(t)}dt+\int _{1}^{2}f_{1(3,t)}*b'_{1(t)}+f_{2(3,t)}*b'_{2(t)}dt$

$=(3-1)+(12-3)=11$

Streckenzug $(1,1)\rightarrow (3,2)$ (Vektor ${\vec {c}}$)

$\int _{0}^{1}f_{1(2t+1,t+1)}*c'_{1(t)}+f_{2(2t+1,t+1)}*a'_{2(t)}dt$

$=11$

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