TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS11/Beispiel 27

Für die Funktion $f(t)={\begin{cases}-t^{3}+1\,\,\,(t\leq 3)\\t^{3}-1\,\,\,(t>3)\end{cases}}$ berechnen Sie $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt$. Ist $F(x)$ stetig bzw. differenzierbar?

Lösungsvorschlag

Stammfunktion ermitteln

Um mir im folgenden etwas einfacher mit der Schreibarbeit zu tun, definier ich:<br\> $\!\ g(t):=-t^{3}+1$<br\> $\!\ h(t):=t^{3}-1$<br\> $\Rightarrow f(t)={\begin{cases}g(t)&(t\leq 3)\\h(t)&(t>3)\end{cases}}$

zuerste einmal die einzelnen Integrale bestimmen:

$\int g(t)\,dt=\int {-t^{3}+1}\,dt=-{\frac {t^{4}}{4}}+t+c$

$\int h(t)\,dt=\int {t^{3}-1}\,dt={\frac {t^{4}}{4}}-t+c$

und nun diese beiden zu F(x) zusammensetzen:

$\int _{0}^{x}{f(t)\,dt}={\begin{cases}G(x)&(t\leq 3)\\H(x)&(t>3)\end{cases}}$

dabei ist der eine Fall $\leq 3$ einfach:

$G(x)=\int _{0}^{x}{g(t)\,dt}=\left.-{\frac {t^{4}}{4}}+t\right|_{0}^{x}=-{\frac {x^{4}}{4}}+x$

für den anderen Fall muss man etwas aufpassen. Man muss diesen Bereich nämlich zusammenstoppeln:

$H(x)=\int _{0}^{3}{g(t)\,dt}+\int _{3}^{x}{h(t)\,dt}=\left.-{\frac {t^{4}}{4}}+t\right|_{0}^{x}=-{\frac {x^{4}}{4}}+x$

$\int _{0}^{3}{g(t)\,dt}=\left.-{\frac {t^{4}}{4}}+t\right|_{0}^{3}=-{\frac {81}{4}}+3=-{\frac {69}{4}}$

$\int _{3}^{x}{h(t)\,dt}=\left.{\frac {t^{4}}{4}}-t\right|_{3}^{x}={\frac {x^{4}}{4}}-x-{\frac {81}{4}}+3={\frac {x^{4}-4x-69}{4}}$

$H(x)=-{\frac {69}{4}}+{\frac {x^{4}-4x-69}{4}}={\frac {x^{4}-4x-138}{4}}$

$\Rightarrow F(x)={\begin{cases}-{\frac {x^{4}}{4}}+x&(x\leq 3)\\{\frac {x^{4}-4x-138}{4}}&(x>3)\end{cases}}$

Stetigkeit

Probleme mit der Stetigkeit kann es in dem Fall nur am Grenzpunkt x = 3 geben.

Um nun zu prüfen, ob die Funktion stetig ist, berechnet man die Grenzwerte der beiden Funktionen G(x), H(x) am Punkt 3. Wenn beide Grenzwerte gleich sind, dann ist die Funktion F(x) stetig.

$\lim _{x\to 3^{-}}G(x)=\lim _{x\to 3^{-}}-{\frac {x^{4}}{4}}+x=-{\frac {69}{4}}$

$\lim _{x\to 3^{+}}H(x)=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {x^{4}-4x-138}{4}}=-{\frac {69}{4}}$

Die Grenzwerte stimmen also überein, also ist die Funktion an der Stelle 3 stetig.

Differenzierbarkeit

Hier ist es ähnlich wie bei der Stetigkeit, nur muss in dem fall der Differenzenquotienten an der Stelle 3 geblidet werden können, egal von welcher Seite man sich nähert. Und es muss natürlich das gleiche Ergebnis haben.

$F'(3)=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {H(x)-F(3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {{\frac {x^{4}-4x-138}{4}}+{\frac {69}{4}}}{x-3}}=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {x^{4}-4x-69}{4x-12}}$

nachdem wir es hier mit einer unbestimmten Form zu tun haben, wendet man die Regel von de l'Hospital an:

$F'(3)=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {4x^{3}-4}{4}}=26$

so und das nun auch von der anderen Seite:

$F'(3)=\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {G(x)-F(3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {-{\frac {x^{4}}{4}}+x+{\frac {69}{4}}}{x-3}}=\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {-x^{4}+4x+69}{4x-12}}$

wieder mit der Regel von de l'Hospital:

$F'(3)=\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {-4x^{3}+4}{4}}=-26$

Hier sieht man also, das je nach dem von welcher Seite man kommt ein anderer Wert herauskommt (wenn auch nur negiert). D.h. die Funktion F(x) ist an der Stelle 3 nicht differenzierbar.

Siehe auch:Vorlage:DefinitionVorlage:Extern>

Für die Funktion $f(t)={\begin{cases}-t^{3}+1\,\,\,(t\leq 3)\\t^{3}-1\,\,\,(t>3)\end{cases}}$ berechnen Sie $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt$. Ist $F(x)$ stetig bzw. differenzierbar?

Lösungsvorschlag

Stammfunktion ermitteln

Um mir im folgenden etwas einfacher mit der Schreibarbeit zu tun, definier ich:<br\> $\!\ g(t):=-t^{3}+1$<br\> $\!\ h(t):=t^{3}-1$<br\> $\Rightarrow f(t)={\begin{cases}g(t)&(t\leq 3)\\h(t)&(t>3)\end{cases}}$

zuerste einmal die einzelnen Integrale bestimmen:

$\int g(t)\,dt=\int {-t^{3}+1}\,dt=-{\frac {t^{4}}{4}}+t+c$

$\int h(t)\,dt=\int {t^{3}-1}\,dt={\frac {t^{4}}{4}}-t+c$

und nun diese beiden zu F(x) zusammensetzen:

$\int _{0}^{x}{f(t)\,dt}={\begin{cases}G(x)&(t\leq 3)\\H(x)&(t>3)\end{cases}}$

dabei ist der eine Fall $\leq 3$ einfach:

$G(x)=\int _{0}^{x}{g(t)\,dt}=\left.-{\frac {t^{4}}{4}}+t\right|_{0}^{x}=-{\frac {x^{4}}{4}}+x$

für den anderen Fall muss man etwas aufpassen. Man muss diesen Bereich nämlich zusammenstoppeln:

$H(x)=\int _{0}^{3}{g(t)\,dt}+\int _{3}^{x}{h(t)\,dt}=\left.-{\frac {t^{4}}{4}}+t\right|_{0}^{x}=-{\frac {x^{4}}{4}}+x$

$\int _{0}^{3}{g(t)\,dt}=\left.-{\frac {t^{4}}{4}}+t\right|_{0}^{3}=-{\frac {81}{4}}+3=-{\frac {69}{4}}$

$\int _{3}^{x}{h(t)\,dt}=\left.{\frac {t^{4}}{4}}-t\right|_{3}^{x}={\frac {x^{4}}{4}}-x-{\frac {81}{4}}+3={\frac {x^{4}-4x-69}{4}}$

$H(x)=-{\frac {69}{4}}+{\frac {x^{4}-4x-69}{4}}={\frac {x^{4}-4x-138}{4}}$

$\Rightarrow F(x)={\begin{cases}-{\frac {x^{4}}{4}}+x&(x\leq 3)\\{\frac {x^{4}-4x-138}{4}}&(x>3)\end{cases}}$

Frage: Warum muss man genau beim Fall t < 3 den Bereich "zusammenstoppeln"? Das hat bis jetzt niemand erklärt der eine Lösung zu so einem Beispiel hochgeladen hat. Dabei ist es so wichtig für das Verständnis des Beispiels!

Wieso muss man das im Fall t >= 3 nicht machen? Warum wird das nicht erwähnt?

Stetigkeit

Probleme mit der Stetigkeit kann es in dem Fall nur am Grenzpunkt x = 3 geben.

Um nun zu prüfen, ob die Funktion stetig ist, berechnet man die Grenzwerte der beiden Funktionen G(x), H(x) am Punkt 3. Wenn beide Grenzwerte gleich sind, dann ist die Funktion F(x) stetig.

$\lim _{x\to 3^{-}}G(x)=\lim _{x\to 3^{-}}-{\frac {x^{4}}{4}}+x=-{\frac {69}{4}}$

$\lim _{x\to 3^{+}}H(x)=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {x^{4}-4x-138}{4}}=-{\frac {69}{4}}$

Die Grenzwerte stimmen also überein, also ist die Funktion an der Stelle 3 stetig.

Differenzierbarkeit

Hier ist es ähnlich wie bei der Stetigkeit, nur muss in dem fall der Differenzenquotienten an der Stelle 3 geblidet werden können, egal von welcher Seite man sich nähert. Und es muss natürlich das gleiche Ergebnis haben.

$F'(3)=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {H(x)-F(3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {{\frac {x^{4}-4x-138}{4}}+{\frac {69}{4}}}{x-3}}=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {x^{4}-4x-69}{4x-12}}$

nachdem wir es hier mit einer unbestimmten Form zu tun haben, wendet man die Regel von de l'Hospital an:

$F'(3)=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {4x^{3}-4}{4}}=26$

so und das nun auch von der anderen Seite:

$F'(3)=\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {G(x)-F(3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {-{\frac {x^{4}}{4}}+x+{\frac {69}{4}}}{x-3}}=\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {-x^{4}+4x+69}{4x-12}}$

wieder mit der Regel von de l'Hospital:

$F'(3)=\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {-4x^{3}+4}{4}}=-26$

Hier sieht man also, das je nach dem von welcher Seite man kommt ein anderer Wert herauskommt (wenn auch nur negiert). D.h. die Funktion F(x) ist an der Stelle 3 nicht differenzierbar.

Siehe auch:Vorlage:DefinitionVorlage:Extern>

Für die Funktion $f(t)={\begin{cases}-t^{3}+1\,\,\,(t\leq 3)\\t^{3}-1\,\,\,(t>3)\end{cases}}$ berechnen Sie $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt$. Ist $F(x)$ stetig bzw. differenzierbar?

Lösungsvorschlag

Frage: Warum muss man nur im Fall x > 3 den Bereich zusammenstoppeln? Das wäre sehr wichtig für das Verständnis des Beispiels!

Wieso erspare ich mir das im Fall t <= 3 ?

Stetigkeit

Probleme mit der Stetigkeit kann es in dem Fall nur am Grenzpunkt x = 3 geben.

Um nun zu prüfen, ob die Funktion stetig ist, berechnet man die Grenzwerte der beiden Funktionen G(x), H(x) am Punkt 3. Wenn beide Grenzwerte gleich sind, dann ist die Funktion F(x) stetig.

$\lim _{x\to 3^{-}}G(x)=\lim _{x\to 3^{-}}-{\frac {x^{4}}{4}}+x=-{\frac {69}{4}}$

$\lim _{x\to 3^{+}}H(x)=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {x^{4}-4x-138}{4}}=-{\frac {69}{4}}$

Die Grenzwerte stimmen also überein, also ist die Funktion an der Stelle 3 stetig.

Differenzierbarkeit

Hier ist es ähnlich wie bei der Stetigkeit, nur muss in dem fall der Differenzenquotienten an der Stelle 3 geblidet werden können, egal von welcher Seite man sich nähert. Und es muss natürlich das gleiche Ergebnis haben.

$F'(3)=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {H(x)-F(3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {{\frac {x^{4}-4x-138}{4}}+{\frac {69}{4}}}{x-3}}=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {x^{4}-4x-69}{4x-12}}$

nachdem wir es hier mit einer unbestimmten Form zu tun haben, wendet man die Regel von de l'Hospital an:

$F'(3)=\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {4x^{3}-4}{4}}=26$

so und das nun auch von der anderen Seite:

$F'(3)=\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {G(x)-F(3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {-{\frac {x^{4}}{4}}+x+{\frac {69}{4}}}{x-3}}=\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {-x^{4}+4x+69}{4x-12}}$

wieder mit der Regel von de l'Hospital:

$F'(3)=\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {-4x^{3}+4}{4}}=-26$

Hier sieht man also, das je nach dem von welcher Seite man kommt ein anderer Wert herauskommt (wenn auch nur negiert). D.h. die Funktion F(x) ist an der Stelle 3 nicht differenzierbar.