TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 235

Berechnen Sie die folgende Summe durch Aufstellen und Lösen einer Rekursion:

$\sum _{i=1}^n{i}^2$

Lösung von Baccus

Das Erstellen einer Rekursion aus dieser Summenformel dürfte klar sein:

$a_n=a_{n-1}+n^2$, umgeformt

$a_n-a_{n-1}=n^2$ (1).

Die charakteristische Gleichung ist also

$\lambda -1=0,\lambda =1$ ($\to$ 1-fache Nullstelle).

Die harmonische Lösung ist also $a_n^{(h)}=A$, eine Konstante.

Für eine partikuläre Lösung müssen wir mehr Aufwand treiben (siehe auch TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Ansatzmethode):

Die Störfunktion in (1) ist $n^2$, also setzen wir ein Polynom Q(n) vom Grad 2 an:

$a_n^{(p)}=(B\cdot n^2+C\cdot n+D)\cdot n^i$, wobei i=1 (einfache Nullstelle bei $\lambda$).

Wir setzen in (1) ein:

$(B{n}^2+Cn+D)n-(B(n-1{)}^2+C(n-1)+D)\cdot (n-1)=n^2$

$B{n}^3+C{n}^2+Dn-B(n^3-3n^2+3n-1)-C(n^2-2n+1)-D(n-1)=n^2$

Kürzen: $3B{n}^2-3Bn+B+2Cn-C+D=n^2$,

Nach Potenzen ordnen: $3B{n}^2+(-3B+2C)n+(B-C+D)=n^2$.

Diese Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn folgendes gilt (Koeffizientenvergleich):

$\underset{=1}{\underbrace{3B}}{n}^2+\underset{=0}{\underbrace{(-3B+2C)}}n+\underset{=0}{\underbrace{(B-C+D)}}=n^2$.

Für die Konstanten B,C,D ergeben sich also (von linx nach rechz):

• $3B=1\Rightarrow B=\frac{1}{3}$;
• $-3\frac{1}{3}+2C=0\Rightarrow C=\frac{1}{2}$;
• $\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+D=0\Rightarrow D=\frac{1}{6}$.

Also ist $a_n^{(p)}=(\frac{1}{3}{n}^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6})n$.

Eigentlich könnten wir das Beispiel hier beenden.

Exkurse

Mancher Übungsleiter besteht noch drauf, diese Lösung weiter zu "zerlegen":

• Komplettlösung:

Wir haben bisher ja nur $a^h$ und $a^p$ bestimmt; aber $a_n=a_n^{(h)}+a_n^{(p)}$.

Na gut: wenn wir (empirisch, aus der Angabe) $a_0=0$ setzen, kommen wir auf

$0=A+(\frac{1}{3}{n}^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6})\underset{=0}{\underbrace{n}}⟹A=0.$

Also ist $a_n=a_n^{(p)}$.

• Formelheft-Lösung:

In manchen Formelheften steht als Lösung von $\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)$.

Das schaffen wir vielleicht auch noch:

Beim obigen Ergebnis $\frac{1}{6}$ herausheben: $a_n=n(\frac{1}{3}{n}^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6})=\frac{n}{6}(2n^2+3n+1)=\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)$.

Odr? --Baccus 04:00, 14. Jun 2007 (CEST)

Links

• Diskussion im Informatik-Forum / SS07 Beispiel E11

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