Berechnen Sie die folgende Summe durch Aufstellen und Lösen einer Rekursion:
Das Erstellen einer Rekursion aus dieser Summenformel dürfte klar sein:
, umgeformt
(1).
Die charakteristische Gleichung ist also
( 1-fache Nullstelle).
Die harmonische Lösung ist also , eine Konstante.
Für eine partikuläre Lösung müssen wir mehr Aufwand treiben (siehe auch TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Ansatzmethode):
Die Störfunktion in (1) ist , also setzen wir ein Polynom Q(n) vom Grad 2 an:
, wobei i=1 (einfache Nullstelle bei ).
Wir setzen in (1) ein:
Kürzen: ,
Nach Potenzen ordnen: .
Diese Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn folgendes gilt (Koeffizientenvergleich):
.
Für die Konstanten B,C,D ergeben sich also (von linx nach rechz):
- ;
- ;
- .
Also ist .
Eigentlich könnten wir das Beispiel hier beenden.
Mancher Übungsleiter besteht noch drauf, diese Lösung weiter zu "zerlegen":
Wir haben bisher ja nur und bestimmt;
aber .
Na gut: wenn wir (empirisch, aus der Angabe) setzen, kommen wir auf
Also ist .
In manchen Formelheften steht als Lösung von .
Das schaffen wir vielleicht auch noch:
Beim obigen Ergebnis herausheben:
.
Odr?
--Baccus 04:00, 14. Jun 2007 (CEST)
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