TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 235

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Berechnen Sie die folgende Summe durch Aufstellen und Lösen einer Rekursion:


Lösung von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Erstellen einer Rekursion aus dieser Summenformel dürfte klar sein:

, umgeformt

(1).

Die charakteristische Gleichung ist also

( 1-fache Nullstelle).

Die harmonische Lösung ist also , eine Konstante.


Für eine partikuläre Lösung müssen wir mehr Aufwand treiben (siehe auch TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Ansatzmethode):

Die Störfunktion in (1) ist , also setzen wir ein Polynom Q(n) vom Grad 2 an:

, wobei i=1 (einfache Nullstelle bei ).


Wir setzen in (1) ein:

Kürzen: ,

Nach Potenzen ordnen: .


Diese Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn folgendes gilt (Koeffizientenvergleich):

.

Für die Konstanten B,C,D ergeben sich also (von linx nach rechz):

  • ;
  • ;
  • .


Also ist .

Eigentlich könnten wir das Beispiel hier beenden.

Exkurse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mancher Übungsleiter besteht noch drauf, diese Lösung weiter zu "zerlegen":

  • Komplettlösung:

Wir haben bisher ja nur und bestimmt; aber .

Na gut: wenn wir (empirisch, aus der Angabe) setzen, kommen wir auf

Also ist .


  • Formelheft-Lösung:

In manchen Formelheften steht als Lösung von .

Das schaffen wir vielleicht auch noch:


Beim obigen Ergebnis herausheben: .

Odr? --Baccus 04:00, 14. Jun 2007 (CEST)


Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

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