TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 200

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

1. (a) $\underset{x\to 1-}{lim}\ln (1-x)\cdot \ln (x)$
2. (b) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\ln (1+\frac{1}{x})$

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Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_0$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_0)=g(x_0)=0$ und
• existiert $\underset{x\to x_0}{lim}\left(\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\right)$,

so gilt: $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \mathrm{\infty }$, oder auch falls $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$.

Lösungsvorschlag

Beispiel a

Zuerst formt man die Gleichung um, damit man auf die unbestimmte Form $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ kommt:

$\underset{x\to 1-}{lim}\ln (1-x)\cdot \ln (x)=\underset{x\to 1-}{lim}\frac{\ln (1-x)}{\frac{1}{\ln (x)}}$

Regel von de l'Hospital anwenden:

$\underset{x\to 1-}{lim}\frac{\ln (1-x)}{\frac{1}{\ln (x)}}=\underset{x\to 1-}{lim}\frac{\frac{1}{x-1}}{\frac{-1}{x(\ln (x){)}^2}}$

Etwas umgeformt sieht das Ganze dann so aus:

$\underset{x\to 1-}{lim}-\frac{x(\ln (x){)}^2}{x-1}=\underset{x\to 1-}{lim}-\frac{(\ln (x){)}^2}{1-\frac{1}{x}}$

Da dies wieder eine unbestimmte Gleichung der Form $\frac{0}{0}$ ist, muss man ein weiteres Mal die Regel von de l'Hospital anwenden:

$\underset{x\to 1-}{lim}-\frac{(\ln (x){)}^2}{1-\frac{1}{x}}=\underset{x\to 1-}{lim}-\frac{2\ln (x)\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 1-}{lim}-2x\ln (x)=0$

$\Rightarrow \underset{x\to 1-}{lim}\ln (1-x)\cdot \ln (x)=0$

Beispiel b

Zuerst formt man die Gleichung um, damit man auf die unbestimmte Form $\frac{0}{0}$ kommt:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\ln (1+\frac{1}{x})=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Regel von de l'Hospital anwenden:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{-1}{x(x+1)}}{\frac{-1}{x^2}}$

Etwas umgeformt sieht das Ganze dann so aus:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x+1}$

Das sieht nur im ersten Moment umbestimmt aus. Man dividiere im Zähler und Nenner durch x:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x+1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1$

$\Rightarrow \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\ln (1+\frac{1}{x})=1$

Lösungsvorschlag von Aeroleeds

Datei:Analysis Bsp.183.pdf