Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man bestimme die erzeugende Funktion der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$ :

$a_{n}=n^{2}+2^{n}$

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bin mir nicht ganz sicher ob das so einfach geht..aber ich komm auf folgendes:

Die erzeugende Funktion ist definiert als $A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

Die Angabe mit $z^{n}$ erweitern ergibt:

$a_{n}z^{n}=n^{2}*z^{n}+2^{n}z^{n}$

Aufsummiern:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}z^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}z^{n}$

Auf wikipedia habe ich dann ein paar Identitäten gefunden:

Also setze ich die einfach ein und erhalte: $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}+{\frac {1}{1-2z}}$ Oder:

$A(z)={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}+{\frac {1}{1-2z}}$

Achtung, diese Lösung ist leider nicht ganz richtig wie sich in der Übung herausstellte..