TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS11/Beispiel 34

Angabe

Sei $a\geq 0$. Berechnen Sie

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {(n+k)(n-k)}}$

durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

Lösungsvorschlag

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {(n+k)(n-k)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {n^{2}-k^{2}}}$

Damit entspricht das Beispiel genau dem Beispiel 33