Man löse die Differentialgleichung:
![{\displaystyle y''-2y'+\overbrace {0y} ^{\text{dazu denken}}=e^{x}\sin(x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0172abd5110cf7293200be8c8bceade8&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda ^{2}-2\lambda =0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=263c76d4c38464d3811584496f826b7e&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda (\lambda -2)=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d082224676e178325c5326d84b6cee11&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda _{1}=0\wedge \lambda _{2}=2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=528fe52aceb60d9ac59b777dbdadb948&mode=mathml)
![{\displaystyle y_{(h)}(x)=C_{1}e^{0x}+C_{2}e^{2x}=C_{1}+C_{2}e^{2x}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=72923a27a5f8bda25265e45fa1ffe5f6&mode=mathml)
![{\displaystyle y_{(p)}'=\left(A\cdot \sin x+B\cdot \cos x\right)\cdot e^{x}+\left(A\cdot \cos x-B\cdot \sin x\right)\cdot e^{x}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=381cf18f6ad9bea6fee43e1a350c54c8&mode=mathml)
![{\displaystyle =\left(A\sin x+A\cos x-B\sin x+B\cos x\right)\cdot e^{x}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=40743aaed0ab4f78307fdf869c3a6d58&mode=mathml)
![{\displaystyle y_{(p)}''=\left(A\sin x+A\cos x-B\sin x+B\cos x\right)\cdot e^{x}+(A\cos x-A\sin x-B\cos x-B\sin x)\cdot e^{x}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5bd7e0b433ff3ef965b980ca54bd6fa4&mode=mathml)
![{\displaystyle =\left(2A\cos x-2B\sin x\right)\cdot e^{x}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=70a2ffafa9dfc23fd3323ad791a86a0e&mode=mathml)
![{\displaystyle {\text{Koeffizientenvergleich}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=90caf441f9ad159345ee4ea3a12e400c&mode=mathml)
![{\displaystyle e^{x}\sin x=\left(2A\cos x-2B\sin x\right)\cdot e^{x}-2\left(A\sin x+A\cos x-B\sin x+B\cos x\right)\cdot e^{x}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3bdf662af170ee27532ae95d128512fe&mode=mathml)
![{\displaystyle \sin x=-2A\sin x-2B\cos x}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c3f4370488ecd8190bc3c6217f6ee97d&mode=mathml)
![{\displaystyle A=-{\frac {1}{2}}\wedge B=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=70db8519786038ce95e3f433a4436863&mode=mathml)
(bitte klarifizieren!):
- Charakteristisches Polynom:
Einschub:
Bei einer Störfunktion der Gestalt
setzt man an:
, wobei:
- Q(x), R(x) Polynome vom selben Grad (Potenz) wie P(x) sind,
- k die Vielfachheit von
als Nullstelle in der charakteristischen Gleichung ist.
Also
( [1+i] ist keine Nullstelle)
Aus der Angabe:
:
Koeffizientenvergleich
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