TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 306

Man löse die Differentialgleichung:

y''-2y'=e^{x}\sin x

Kompakte Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$y''-2y'+\overbrace {0y} ^{\text{dazu denken}}=e^{x}\sin(x)$
$\lambda ^{2}-2\lambda =0$
$\lambda (\lambda -2)=0$
$\lambda _{1}=0\wedge \lambda _{2}=2$

$y_{(h)}(x)=C_{1}e^{0x}+C_{2}e^{2x}=C_{1}+C_{2}e^{2x}$
$y_{(p)}(x)=\left(A\cdot \sin x+B\cdot \cos x\right)\cdot e^{x}$

$y_{(p)}'=\left(A\cdot \sin x+B\cdot \cos x\right)\cdot e^{x}+\left(A\cdot \cos x-B\cdot \sin x\right)\cdot e^{x}$
$=\left(A\sin x+A\cos x-B\sin x+B\cos x\right)\cdot e^{x}$
$y_{(p)}''=\left(A\sin x+A\cos x-B\sin x+B\cos x\right)\cdot e^{x}+(A\cos x-A\sin x-B\cos x-B\sin x)\cdot e^{x}$
$=\left(2A\cos x-2B\sin x\right)\cdot e^{x}$

${\text{Koeffizientenvergleich}}$
$e^{x}\sin x=\left(2A\cos x-2B\sin x\right)\cdot e^{x}-2\left(A\sin x+A\cos x-B\sin x+B\cos x\right)\cdot e^{x}$
$\sin x=-2A\sin x-2B\cos x$
$A=-{\frac {1}{2}}\wedge B=0$

$y(x)=C_{1}+C_{2}e^{2x}-{\frac {1}{2}}\sin x\cdot e^{x}$

Lösungsansatz von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(bitte klarifizieren!):

Charakteristisches Polynom:

$\underbrace {\lambda ^{2}-2\lambda } _{\lambda (\lambda -2)}=0\quad \Longrightarrow \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=2\quad \Longrightarrow y_{h}=A+B\cdot e^{2x}$

Einschub:

Bei einer Störfunktion der Gestalt $e^{ax}\cdot {\begin{Bmatrix}\sin bx\\\cos bx\end{Bmatrix}}\cdot P(x)$ setzt man an:

e^{ax}\left(Q(x)\sin bx+R(x)\cos bx\right)\cdot x^{k}

, wobei:

Q(x), R(x) Polynome vom selben Grad (Potenz) wie P(x) sind,
k die Vielfachheit von $[a+ib]\in \mathbb {C}$ als Nullstelle in der charakteristischen Gleichung ist.