TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 306

Man löse die Differentialgleichung:

$y^{″}-2y^{\prime }=e^x\sin x$

Kompakte Lösung

$y^{″}-2y^{\prime }+\stackrel{\text{dazu denken}}{\overbrace{0y}}=e^x\sin (x)$
${\lambda }^2-2\lambda =0$
$\lambda (\lambda -2)=0$
${\lambda }_1=0\wedge {\lambda }_2=2$

$y_{(h)}(x)=C_1{e}^{0x}+C_2{e}^{2x}=C_1+C_2{e}^{2x}$
$y_{(p)}(x)=(A\cdot \sin x+B\cdot \cos x)\cdot e^x$

$y_{{(}^{\prime }p)}=(A\cdot \sin x+B\cdot \cos x)\cdot e^x+(A\cdot \cos x-B\cdot \sin x)\cdot e^x$
$=(A\sin x+A\cos x-B\sin x+B\cos x)\cdot e^x$
$y_{{(}^{″}p)}=(A\sin x+A\cos x-B\sin x+B\cos x)\cdot e^x+(A\cos x-A\sin x-B\cos x-B\sin x)\cdot e^x$
$=(2A\cos x-2B\sin x)\cdot e^x$

$\text{Koeffizientenvergleich}$
$e^x\sin x=(2A\cos x-2B\sin x)\cdot e^x-2(A\sin x+A\cos x-B\sin x+B\cos x)\cdot e^x$
$\sin x=-2A\sin x-2B\cos x$
$A=-\frac{1}{2}\wedge B=0$

$y(x)=C_1+C_2{e}^{2x}-\frac{1}{2}\sin x\cdot e^x$

Lösungsansatz von Baccus

(bitte klarifizieren!):

• Charakteristisches Polynom:

$\underset{\lambda (\lambda -2)}{\underbrace{{\lambda }^2-2\lambda }}=0⟹{\lambda }_1=0,{\lambda }_2=2⟹y_h=A+B\cdot e^{2x}$

Einschub:

Bei einer Störfunktion der Gestalt $e^{ax}\cdot \left\{\begin{array}{c}\sin bx\\ \cos bx\end{array}\right\}\cdot P(x)$ setzt man an:

$e^{ax}(Q(x)\sin bx+R(x)\cos bx)\cdot x^k$, wobei:

• Q(x), R(x) Polynome vom selben Grad (Potenz) wie P(x) sind,
• k die Vielfachheit von $[a+ib]\in ℂ$ als Nullstelle in der charakteristischen Gleichung ist.

Also $⟹e^{1x}\sin (1x)\cdot 1\cdot x^0$ ( [1+i] ist keine Nullstelle)

$y_p=e^x(C\sin x+D\cos x)$

$y{\text{'}}_p=e^x(C\sin x+D\cos x+\underset{g^{\prime }ausProduktregel}{\underbrace{C\cos x-D\sin x}})$

$y^{\prime }{\text{'}}_p=e^x(2C\cos x-2D\sin x)$

Aus der Angabe: $y^{″}-2y^{\prime }$:

$e^x(2C\cos x-2D\sin x)-2e^x(C\sin x+D\cos x+C\cos x-D\sin x)=e^x\sin x$

Koeffizientenvergleich$\Rightarrow C=-\frac{1}{2},D=0$

$⟹y_p=-\frac{1}{2}{e}^x\sin x$

$⟹y=A+B\cdot e^{2x}-\frac{1}{2}\cdot e^x\sin x$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum / SS 07 Beispiel 209

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