TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 203

Man berechne den Grenzwert

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x^{2})}{x\sin x}}$

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Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_{0}$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ und
• existiert $\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right)$,

so gilt: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \infty$, oder auch falls $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\infty$.

Lösungsvorschlag

Es liegt hier die unbestimmte Form ${\frac {0}{0}}$ vor, daher wenden wir hier die Regel von de l'Hospital an:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x^{2})}{x\sin x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x\cdot \cos(x^{2})}{\sin x+x\cos x}}=2\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x^{2})}{{\frac {1}{x}}\cdot \sin x+\cos x}}$

Im ersten Moment könnte man glauben, das ist wieder umbestimmt, weil ${\frac {1}{x}}\cdot \sin x$ nach ${\frac {0}{0}}$ aussieht.

Aber man muss hier etwas genauer hinschauen:

Der Sinus lässt sich auch durch eine Potenzreihe darstellen:

$\sin x=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-+\cdots$

$\Rightarrow {\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-+\cdots$

und wenn man diese Potenzreihe gegen Null gehen lässt, sieht man dass das gegen 1 konvergiert, weil alle Terme wo ein x drinnen steckt gegen null gehen und daher nur der 1 am Anfang überbleibt.

$\Rightarrow \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

Mit diesem Wissen und den Rechenregeln für Grenzwerte kann man obiges bereits berechnen:

$2\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x^{2})}{{\frac {1}{x}}\cdot \sin x+\cos x}}=2{\frac {\lim _{x\to 0}\cos(x^{2})}{\lim _{x\to 0}\left({\frac {1}{x}}\cdot \sin x+\cos x\right)}}=2{\frac {\lim _{x\to 0}\cos(x^{2})}{\lim _{x\to 0}\left({\frac {1}{x}}\cdot \sin x\right)+\lim _{x\to 0}\left(\cos x\right)}}=2{\frac {1}{1+1}}=1$

$\Rightarrow \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x^{2})}{x\sin x}}=1$