TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 203

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Man berechne den Grenzwert

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regel von l'Hospital
Regel von l'Hospital[Bearbeiten, Wikipedia, 5.35 Satz]

Sind die Funktionen und in einer Umgebung von

  • differenzierbar und
  • gilt und
  • existiert ,

so gilt: . Eine analoge Aussage gilt für , oder auch falls .

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es liegt hier die unbestimmte Form vor, daher wenden wir hier die Regel von de l'Hospital an:

Im ersten Moment könnte man glauben, das ist wieder umbestimmt, weil nach aussieht.

Aber man muss hier etwas genauer hinschauen:

Der Sinus lässt sich auch durch eine Potenzreihe darstellen:

und wenn man diese Potenzreihe gegen Null gehen lässt, sieht man dass das gegen 1 konvergiert, weil alle Terme wo ein x drinnen steckt gegen null gehen und daher nur der 1 am Anfang überbleibt.

Mit diesem Wissen und den Rechenregeln für Grenzwerte kann man obiges bereits berechnen: